Haupt-, Scheitel(punkts)-, Produktform. Bestimme aus folgenden Wertetabellen (je drei Wertepaare) jeweils die quadratische Funktion.
Alle Nullstellen sind bekannt. Es empfiehlt sich, mit der Produktform anzusetzen:
\(f_1(x)=a(x-1)(x-2)\)
Punktprobe mit \(P(3|1)\): \(f_1(3)=1 \Rightarrow a(3-1)(3-2)=1 \Rightarrow 2a=1 \Rightarrow a=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f_1(x)=\frac12(x-1)(x-2)\)
Hier sind ebenfalls ale Nullstellen bekannt. Außerdem kann der Scheitelpunkt \(S(2|1)\) abgelesen werden. Ansatz also wahlweise mit Produkt- oder Scheitelform.
Mit Scheitelpunkt sieht das so aus: \(f_2(x)=a(x-2)^2+1\)
Der Funktionswert an der Stelle 1 links von der Scheitelstelle ist 1 weniger als der an der Scheitelstelle. Der Streckungsfaktor ist also -1.
\(\Rightarrow f_2(x)=-(x-2)^2+1\)
Den Wert für a hätte man alternativ durch Einsetzen des Punktes \(A(1|0)\) oder \(B(3|0)\) ausrechnen können
Der Scheitelpunkt \(S(2|0)\) liegt auf der x-Achse und ist damit gleichzeitig eine doppelte Nullstelle. Die Scheitelpunktform und die Produktform sehen in diesem Fall exakt gleich aus:
\(f_3(x)=a(x-2)^2\)
Eins neben dem Scheitelpunkt ist der Funktionswert 2 statt \(1^2=1\), also ist der Streckungsfaktor \(a=2\)
\(\Rightarrow f_3(x)=2(x-2)^2\)
