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Version 4.1 von Holger Engels am 2025/03/28 12:36
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1 //Haupt-, Scheitel(punkts)-, Produktform.// Bestimme aus folgenden Wertetabellen (je drei Wertepaare) jeweils die quadratische Funktion.
2 (% class="border slim" %)
3 |{{formula}}x{{/formula}}|1|2|3
4 |{{formula}}f_1(x){{/formula}}|0|0|1
5
6 Alle Nullstellen sind bekannt. Es empfiehlt sich, mit der Produktform anzusetzen:
7 {{formula}}f_1(x)=a(x-1)(x-2){{/formula}}
8 Punktprobe mit {{formula}}P(3|1){{/formula}}: {{formula}}f_1(3)=1 \Rightarrow a(3-1)(3-2)=1 \Rightarrow 2a=1 \Rightarrow a=\frac{1}{2}{{/formula}}
9 {{formula}}\Rightarrow f_1(x)=\frac12(x-1)(x-2){{/formula}}
10
11 (% class="border slim" %)
12 |{{formula}}x{{/formula}}|1|2|3
13 |{{formula}}f_2(x){{/formula}}|0|1|0
14
15 Hier sind ebenfalls ale Nullstellen bekannt. Außerdem kann der Scheitelpunkt {{formula}}S(2|1){{/formula}} abgelesen werden. Ansatz also wahlweise mit Produkt- oder Scheitelform.
16 Mit Scheitelpunkt sieht das so aus: {{formula}}f_2(x)=a(x-2)^2+1{{/formula}}
17 Der Funktionswert an der Stelle //1// links von der Scheitelstelle ist //1// weniger als der an der Scheitelstelle. Der Streckungsfaktor ist also //-1//.
18 {{formula}}\Rightarrow f_2(x)=-(x-2)^2+1{{/formula}}
19 Den Wert für //a// hätte man alternativ durch Einsetzen des Punktes {{formula}}A(1|0){{/formula}} oder {{formula}}B(3|0){{/formula}} ausrechnen können
20
21 (% class="border slim" %)
22 |{{formula}}x{{/formula}}|1|2|3
23 |{{formula}}f_3(x){{/formula}}|2|0|2
24
25 Der Scheitelpunkt {{formula}}S(2|0){{/formula}} liegt auf der x-Achse und ist damit gleichzeitig eine doppelte Nullstelle. Die Scheitelpunktform und die Produktform sehen in diesem Fall exakt gleich aus:
26 {{formula}}f_3(x)=a(x-2)^2{{/formula}}
27 Eins neben dem Scheitelpunkt ist der Funktionswert //2// statt {{formula}}1^2=1{{/formula}}, also ist der Streckungsfaktor {{formula}}a=2{{/formula}}
28 {{formula}}\Rightarrow f_3(x)=2(x-2)^2{{/formula}}
29
30 (% class="border slim" %)
31 |{{formula}}x{{/formula}}|1|2|3
32 |{{formula}}f_4(x){{/formula}}|2|4|2
33
34 (% class="border slim" %)
35 |{{formula}}x{{/formula}}|1|2|3
36 |{{formula}}f_5(x){{/formula}}|2|1|-2