Änderungen von Dokument Lösung Anwendung drei Verfahren

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -34,9 +34,9 @@
34	34
35	35	4. **Rechnerisches Verfahren:**
36	36
37		-i) //Faktorisieren// (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3}){{/formula}}
38		-ii) //Nullstellen// (jeweils 1-fach): {{formula}}-\sqrt{3}{{/formula}}, {{formula}}-1{{/formula}}, {{formula}}+1{{/formula}}, {{formula}}+\sqrt{3}{{/formula}}
39		-iii) //Vorzeichenanalyse://
	37	+i) Faktorisieren (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3}){{/formula}}
	38	+ii) Nullstellen (jeweils 1-fach): {{formula}}-\sqrt{3}{{/formula}}, {{formula}}-1{{/formula}}, {{formula}}+1{{/formula}}, {{formula}}+\sqrt{3}{{/formula}}
	39	+iii) Vorzeichenanalyse:
40	40	iii.1) Wenn die Vielfachheiten aller Nullstellen bekannt sind, dann genügt auch das Globalverhalten bzw. eine Teststelle.
41	41	iii.2) Naives Vorgehen: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine //Teststelle// und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.
42	42
...	...	@@ -48,10 +48,26 @@
48	48	| {{formula}}(1,\ \sqrt{3}){{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}f(x) = -0{,}9375 < 0{{/formula}} |
49	49	| {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}f(x) = 3 > 0{{/formula}} |
50	50
51		-iv) //Gesuchte Lösung://
52		-Es ist {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt für alle {{formula}}x\in \mathbb{L}=]-\infty; -\sqrt{3}[ \cup ]-1; +1[ \cup ]\sqrt{3}; +\infty[{{/formula}}
	51	+iv) Gesuchte Lösung:
	52	+{{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für {{formula}}\mathbb{L}=]-\infty; -\sqrt{3}[ \cup ]-1; +1[ \cup ]\sqrt{3}; +\infty[{{/formula}}
53	53
54		-**Anmerkung:**
	54	+---
	55	+
	56	+5. **Vergleich der Verfahren:**
	57	+
	58	+- Das **tabellarische Verfahren** gibt erste Hinweise auf das Verhalten der Funktion, eignet sich zur Erkundung durch systematisches Probieren, bleibt aber ungenau bei der Bestimmung von Nullstellenpositionen.
	59	+- Das **graphische Verfahren** bietet anschauliche Orientierung: Vorzeichenwechsel, Lage zur x-Achse und Symmetrie werden sichtbar. Es stützt das funktionale Verständnis, ist aber zeichengenauigkeitsabhängig.
	60	+- Das **rechnerische Verfahren** liefert exakte Aussagen zu Nullstellen, Intervallen und Lösungsmenge. Es ist unverzichtbar für formale Sicherheit, setzt jedoch algebraische Fähigkeiten voraus.
	61	+
	62	+**Didaktisch:**
	63	+Die Verfahren stehen in einer natürlichen Lernprogression:
	64	+Vom **konkreten Probieren (Tabelle)** über das **visuelle Erfassen (Graph)** hin zum **symbolischen Durchdringen (Rechnung)**. Ihr Zusammenspiel stärkt nachhaltiges Verständnis für das Verhalten ganzrationaler Funktionen.
	65	+
	66	+{{/loesung}}
	67	+
	68	+---
	69	+
	70	+**Zusammenfassung:**
55	55	- Das **tabellarische Verfahren** zeigt erste Hinweise auf Nullstellen und Verläufe.
56	56	- Das **graphische Verfahren** unterstützt die visuelle Einschätzung von Steigung und Vorzeichenbereichen.
57	57	- Das **rechnerische Verfahren** liefert die exakte Lösung in Produktform und damit eine genaue Bestimmung der Lösungsmenge.