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Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/04/07 23:23
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Martin Rathgeb 2.1 1 **Aufgabenstellung:**
Martin Rathgeb 3.1 2 Gegeben ist die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3{{/formula}}. Untersuche, für welche Werte von {{formula}}x{{/formula}} die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} erfüllt ist. Vergleiche dazu die drei grundlegenden Verfahren zur Bearbeitung einer Polynomungleichung:
Martin Rathgeb 2.1 3
4 **Lösungsschritte:**
Martin Rathgeb 1.1 5 (% class="abc" %)
Martin Rathgeb 26.1 6 1. **Tabellarisches Verfahren (Teil 1).**
Martin Rathgeb 25.1 7
Martin Rathgeb 27.1 8 //Wertetabelle I.//
Martin Rathgeb 25.1 9
10 (% class="border slim" %)
Martin Rathgeb 35.1 11 |{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
12 |{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}}
Martin Rathgeb 25.1 13
Martin Rathgeb 27.1 14 //Interpretation.//
Martin Rathgeb 25.1 15 Die Funktionswerte sind überall nicht-negativ. Bei {{formula}}x = \pm 1{{/formula}} ergibt sich jeweils {{formula}}f(x) = 0{{/formula}}. Zwischen den Nullstellen ist das Vorzeichenverhalten noch unklar.
16
Martin Rathgeb 26.1 17 2. **Tabellarisches Verfahren (Teil 2).**
Martin Rathgeb 4.1 18
Martin Rathgeb 27.1 19 //Wertetabelle II.//
Martin Rathgeb 2.1 20 (% class="border slim" %)
Martin Rathgeb 15.1 21 |{{formula}}x{{/formula}} |{{formula}}-2{{/formula}}|{{formula}}-1{,}5{{/formula}}|{{formula}}-1{{/formula}}|{{formula}}-0{,}5{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}}|{{formula}}0{,}5{{/formula}}|{{formula}}1{{/formula}}|{{formula}}1{,}5{{/formula}}|{{formula}}2{{/formula}}
22 |{{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}3{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}|{{formula}}+2,...{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-0,...{{/formula}}|{{formula}}3{{/formula}}
Martin Rathgeb 36.1 23 |Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}} |{{formula}}+{{/formula}} |{{formula}}-{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}+{{/formula}}|{{formula}}+{{/formula}}|{{formula}}+{{/formula}}|{{formula}}0{{/formula}} |{{formula}}-{{/formula}}|{{formula}}+{{/formula}}
Martin Rathgeb 4.1 24
Martin Rathgeb 27.1 25 //Interpretation.//
Martin Rathgeb 29.1 26 i) Wir kennen nun nicht nur die beiden Nullstellen {{formula}}x=\pm 1{{/formula}}, sondern wissen auch, dass es in den Intervallen {{formula}}]-2; -1,5[{{/formula}} und {{formula}}]+1,5; +2[{{/formula}} noch jeweils mindestens eine Nullstelle von {{formula}}f{{/formula}} gibt, denn bei beiden Intervallen haben die Funktionswerte an den Rändern verschiedene Vorzeichen.
27 ii) Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat die Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} (vom Grad 4) unter Berücksichtigung der Vielfachheiten nur bis zu 4 reelle Nullstellen. Also sind alle Nullstellen von {{formula}}f{{/formula}} einfach mit {{formula}}-2<x_1<-1,5{{/formula}}, {{formula}}x_2=-1{{/formula}}, {{formula}}x_3=+1{{/formula}} und {{formula}}+1,5<x_4<2{{/formula}}.
28 iii) Also gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x<x_1{{/formula}}, für alle {{formula}}x_2<x<x_3{{/formula}} und für alle {{formula}}x>x_4{{/formula}}.
Martin Rathgeb 1.1 29
Martin Rathgeb 42.1 30 3. **Graphisches Verfahren:**
Martin Rathgeb 1.1 31
Martin Rathgeb 14.1 32 i) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} ist //symmetrisch zur y-Achse//, denn {{formula}}f{{/formula}} ist //gerade//, denn die im Funktionsterm der Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} auftretenden x-Potenzen sind allesamt gerade.
Martin Rathgeb 32.1 33 ii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} kommt von links //oben// und geht nach rechts //oben//, denn das Globalverhalten von {{formula}}f{{/formula}} ist das Globalverhalten der Potenzfunktion {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=x^4{{/formula}}.
Martin Rathgeb 29.1 34 iii) Der Graph von {{formula}}f{{/formula}} schneidet der Wertetabelle gemäß die x-Achse bei {{formula}}x_1{{/formula}} zwischen -2 und -1,5 (mit VZW +/-), bei {{formula}}x_2=-1{{/formula}} (mit VZW -/+), bei {{formula}}x_3=+1{{/formula}} (mit VZW +/-) und bei {{formula}}x_4{{/formula}} zwischen +1,5 und +2 (mit VZW -/+).
Martin Rathgeb 42.1 35 iv) Skizze des Funktionsgraphen (selbst anfertigen)
36 v) Der Skizze lässt sich entnehmen: Es gilt {{formula}}f(x)>0{{/formula}} für alle {{formula}}x<x_1{{/formula}}, für alle {{formula}}x_2<x<x_3{{/formula}} und für alle {{formula}}x>x_4{{/formula}}.
Martin Rathgeb 1.1 37
Martin Rathgeb 3.1 38 4. **Rechnerisches Verfahren:**
Martin Rathgeb 1.1 39
Martin Rathgeb 18.1 40 i) //Faktorisieren// (Satz von Vieta zzgl. dritte binomische Formel): {{formula}}f(x) = x^4 - 4x^2 + 3 = (x^2 - 1)(x^2 - 3) = (x +\sqrt{3})(x+1)(x -1)(x -\sqrt{3}){{/formula}}
Martin Rathgeb 32.1 41 ii) //Nullstellen// (jeweils 1-fach): {{formula}}x_1=-\sqrt{3}{{/formula}}, {{formula}}x_2=-1{{/formula}}, {{formula}}x_3=+1{{/formula}}, {{formula}}x_4=+\sqrt{3}{{/formula}}
Martin Rathgeb 31.1 42 iii) //Vorzeichenanalyse.//
Martin Rathgeb 17.1 43 iii.1) Wenn die Vielfachheiten aller Nullstellen bekannt sind, dann genügt auch das Globalverhalten bzw. eine Teststelle.
Martin Rathgeb 32.1 44 iii.2) Testwertverfahren: Wähle in jedem der fünf Teilintervalle eine //Teststelle// und ermittle das Vorzeichen vom zugehörigen Funktionswert.
Martin Rathgeb 1.1 45
Martin Rathgeb 32.1 46 (% class="border slim" %)
Martin Rathgeb 37.1 47 | Intervall | Testwert | Vorzeichen von {{formula}}f(x){{/formula}}
Martin Rathgeb 34.1 48 | {{formula}}x < x_1{{/formula}} | {{formula}}x = -2{{/formula}} | {{formula}}+{{/formula}}
49 | {{formula}}x_1 < x < x_2{{/formula}} | {{formula}}x = -1{,}5{{/formula}} | {{formula}}-{{/formula}}
50 | {{formula}}x_2 < x < x_3{{/formula}} | {{formula}}x = 0{{/formula}} | {{formula}}+{{/formula}}
51 | {{formula}}x_3 < x < x_4{{/formula}} | {{formula}}x = 1{,}5{{/formula}} | {{formula}}-{{/formula}}
52 | {{formula}}x > x_4{{/formula}} | {{formula}}x = 2{{/formula}} | {{formula}}+{{/formula}}
Martin Rathgeb 1.1 53
Martin Rathgeb 38.1 54 //Gesuchte Lösung.//
Martin Rathgeb 32.1 55 Die Ungleichung {{formula}}f(x) > 0{{/formula}} ist erfüllt für alle {{formula}}x{{/formula}} in:
Martin Rathgeb 1.1 56
Martin Rathgeb 38.1 57 //Lösungsmenge.//
58 {{formula}}\mathbb{L} = {{/formula}} Vereinigung der folgenden offenen Intervalle:
59 i) „kleiner als die kleinste Nullstelle“: {{formula}}x < -\sqrt{3}{{/formula}}
60 ii) „zwischen –1 und 1“: {{formula}}-1 < x < 1{{/formula}}
61 iii) „größer als die größte Nullstelle“: {{formula}}x > \sqrt{3}{{/formula}}
Martin Rathgeb 41.1 62 Formal: {{formula}}\mathbb{L} = ]-\infty,\ -\sqrt{3}[ \cup ]-1,\ 1[ \cup ]\sqrt{3},\ \infty[{{/formula}}
Martin Rathgeb 32.1 63
Martin Rathgeb 39.1 64 **Anmerkung: Vergleich der Verfahren**
Martin Rathgeb 40.1 65 - Das //tabellarische Verfahren// bietet erste Einsichten: Es erlaubt, Vorzeichen zu erkunden und funktionale Zusammenhänge aufzubauen. Es bleibt jedoch punktuell und qualitativ.
66 - Das //graphische Verfahren// macht strukturelle Eigenschaften sichtbar: Symmetrie, Nullstellen, Anstiegsverhalten. Es visualisiert den Lösungsbereich und unterstützt Begriffsbildung.
67 - Das //rechnerische Verfahren// führt zur exakten Lösung: Es erlaubt die genaue Bestimmung aller Nullstellen und den präzisen Aufbau der Lösungsmenge. Dafür sind algebraische Fähigkeiten nötig.
68 //Didaktisch ergänzen sich die Verfahren.//
Martin Rathgeb 39.1 69 Sie bilden eine sinnvolle Progression – von konkreten Werten (Tabelle) über strukturierte Bilder (Graph) bis zur abstrakten Ableitung (Rechnung). Ihr Zusammenspiel fördert nachhaltiges Konzeptverständnis.