Änderungen von Dokument BPE 4.1 Exponentialfunktion und Eulersche Zahl

Zusammenfassung

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -4,7 +4,7 @@
4	4	[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine Exponentialfunktion am Schaubild erkennen
5	5	[[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Eulersche Zahl {{formula}}e{{/formula}} auf zwei Nachkommastellen genau angeben
6	6	[[Kompetenzen.K1]] Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen
7		-[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
	7	+[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Basiswechsel durchführen
8	8
9	9	{{lernende}}
10	10	[[GeoGebra-Buch>>https://www.geogebra.org/m/khnsgz5a#material/UcgSUN2M]]
...	...	@@ -11,35 +11,47 @@
11	11	{{/lernende}}
12	12
13	13	{{aufgabe id="Exponentialfunktion" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="2" cc="by-sa"}}
14		-Entscheide jeweils, ob es sich bei dem Funktionsterm um einen Exponentialfunktionsterm handelt.
	14	+Entscheide, ob der Term Funktionsterm einer Exponentialfunktion ist.
15	15	(% class="abc" %)
16		-1. {{formula}}f(x) = \frac{1}{8}(2(x-2))^3 + 1{{/formula}}
17		-1. {{formula}}f(x) = \frac{1}{8}2^{3(x+1)}-1{{/formula}}
	16	+1. {{formula}}\frac{1}{8}(2(x-2))^3 + 1{{/formula}}
	17	+1. {{formula}}\frac{1}{8}2^{3(x+1)}-1{{/formula}}
18	18	{{/aufgabe}}
19	19
20	20	{{aufgabe id="e-Funktion im Vergleich" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="5" cc="by-sa"}}
21		-[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]Gegeben ist der Graph zu {{formula}}f(x)=e^x{{/formula}}. Skizziere deine Vermutung wie die Graphen von {{formula}}g(x)=2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x)=3^x{{/formula}} verlaufen.
22		-(Ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle)
	21	+[[image:EFunktion.svg||style="float: right; width:400px"]]Gegeben ist der Graph der Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = e^x{{/formula}}.
	22	+Skizziere (ohne Taschenrechner, ohne Wertetabelle) die Graphen der Funktionen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} mit {{formula}}g(x) = 2^x{{/formula}} und {{formula}}h(x) = 3^x{{/formula}} im Vergleich zum Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
23	23	{{/aufgabe}}
24	24
25	25	{{aufgabe id="Graphen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Holger Engels" zeit="8" cc="by-sa"}}
26		-Ordne die Funktionsgraphen den Funktionstermen zu und skizziere jeweils im Schaubild den Abschnitt für //x<0//.
27		-{{formula}}f(x)=1+2x{{/formula}} {{formula}}g(x)=1 + x^2{{/formula}} {{formula}}h(x)=(\frac{1}{2})^x{{/formula}} {{formula}}i(x)=\frac{1}{(x+1)^2}{{/formula}} {{formula}}j(x)=2^x{{/formula}} {{formula}}k(x)=1{{/formula}}
	26	+Ordne die Funktionsgraphen den Funktionstermen zu und skizziere zudem in jedem Koordinatensystem den Abschnitt für {{formula}}x<0{{/formula}}.
	27	+{{formula}}f(x)=1+2x{{/formula}}, {{formula}}g(x)=1 + x^2{{/formula}}, {{formula}}h(x)=(\frac{1}{2})^x{{/formula}}, {{formula}}i(x)=\frac{1}{(x+1)^2}{{/formula}}, {{formula}}j(x)=2^x{{/formula}}, {{formula}}k(x)=1{{/formula}}.
28	28	[[image:graph f.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph g.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph h.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph p.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph q.svg||style="margin: 8px;width:360px"]] [[image:graph r.svg||style="margin: 8px;width:360px"]]
29	29	(% class="abc" %)
30	30	{{/aufgabe}}
31	31
32	32	{{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
33		-Fülle die Wertetabelle aus soweit wie möglich.
	33	+(% class="abc" %)
	34	+1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.
34	34	(% class="border slim" %)
	36	+|=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
	37	+|={{formula}}(-2)^x{{/formula}}||||||
	38	+
	39	+1. Erläutere, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen {{formula}}q > 0{{/formula}}, {{formula}}q
	40	+e 1{{/formula}} definiert werden.
	41	+(% endclass %)
	42	+{{/aufgabe}}
	43	+
	44	+{{aufgabe id="Negative Basis" afb="II" kompetenzen="K1,K6" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
	45	+(% class="abc" %)
	46	+1. Fülle die Wertetabelle soweit möglich aus.
	47	+(% class="border slim" %)
35	35	|=x|2|1|0|-1|-2|-1,5
36	36	|={{formula}}(-2)^x{{/formula}}||||||
37		-
38		-Erläutere, warum wir die Exponentialfunktion nur für positive Basen definieren.
	50	+1. Erläutere, warum Exponentialfunktionen nur für positive Basen {{formula}}q>0{{/formula}}, {{formula}}q\ne 1{{/formula}} definiert werden.
39	39	{{/aufgabe}}
40	40
41	41	{{aufgabe id="Basiswechsel verstehen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4" cc="by-sa"}}
42		-Die Funktion {{formula}}f{{/formula}} ist gegeben mit {{formula}}f(x)=2^x{{/formula}}. Gib die Funktion {{formula}}f{{/formula}} in der Form {{formula}}f(x)=4^{kx}{{/formula}} mit einem geeigneten //k// an.
	54	+Gegeben ist die Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x)=2^x{{/formula}}. Gib die Funktionsgleichung in der Form {{formula}}f(x)=4^{kx}{{/formula}} mit geeignetem {{formula}}k{{/formula}} an.
43	43	{{/aufgabe}}
44	44
45	45	{{aufgabe id="Basiswechsel" afb="I" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="10" cc="by-sa"}}
...	...	@@ -51,19 +51,27 @@
51	51	{{/aufgabe}}
52	52
53	53	{{aufgabe id="Eulersche Zahl" afb="I" kompetenzen="K1,K6" quelle="Niklas Wunder, Katharina Schneider" zeit="6" cc="by-sa"}}
54		-Gegeben sind die Zahlterme
	66	+Gegeben sind folgende Zahlterme:
55	55	{{formula}}a_1=2{{/formula}}
56	56	{{formula}}a_2=2+\frac{1}{1\cdot 2}{{/formula}}
57	57	{{formula}}a_3=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}{{/formula}}
58	58	{{formula}}a_4=2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}{{/formula}}
59	59	(% class="abc" %)
60		-1. Welches Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster fort und berechne {{formula}} a_5, a_6
61		-{{/formula}}.
62		-1. Die eulersche Zahl {{formula}} e{{/formula}} ist gegeben durch {{formula}} e= 2+\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+ ...{{/formula}}. D.h durch Fortsetzung des Musters berechnet man die Zahl {{formula}} e{{/formula}} auf immer mehr Nachkommastellen. Gib die Zahl {{formula}} e{{/formula}} so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.
	72	+1. Welches Muster lässt sich bei der Berechnung erkennen? Führe das Muster für {{formula}} a_5, a_6
	73	+{{/formula}} fort und berechne die beiden Werte.
	74	+1. Die Eulersche Zahl {{formula}} e{{/formula}} ergibt sich durch Fortsetzung der Summenregel. Gib {{formula}} e{{/formula}} so genau an, wie du sie in a) berechnet hast.
63	63	{{/aufgabe}}
64	64
	77	+{{aufgabe id="Natürliche Basis anschaulich" afb="II" kompetenzen="K1" quelle="Erweiterung" zeit="5" cc="by-sa"}}
	78	+Gegeben ist die Exponentialfunktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f(x) = q^x{{/formula}}.
	79	+(% class="abc" %)
	80	+1. Berechne für verschiedene Werte von {{formula}}q \in \{2; 2{,}5; 3; e\}{{/formula}} den Funktionswert an der Stelle {{formula}}x = 0{{/formula}} sowie die mittlere Änderungsrate im Intervall {{formula}}[0, 0{,}1]{{/formula}}. Trage die Werte in eine geeignete Tabelle ein.
	81	+1. Welche Besonderheit stellst du für {{formula}}q = e{{/formula}} fest?
	82	+1. Erkläre, warum man {{formula}}e{{/formula}} als „natürliche“ Basis einer Exponentialfunktion bezeichnet.
	83	+{{/aufgabe}}
	84	+
65	65	{{lehrende}}
66		-"Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen" wird in den Aufgaben nicht abgedeckt, da die Bedeutung der Basis //e// als besondere Basis der Exponentialfunktion erst in der Differentialrechnung eine wichtige Rolle spielt. Die stetige Verzinsung bietet sich für den Unterricht an.
	86	+"Ich kann die besondere Bedeutung der natürlichen Basis nennen" wird in den Aufgaben nicht (bzw. am ehesten in Aufgabe "Natürliche Basis anschaulich") abgedeckt, da die Bedeutung der Basis //e// als besondere Basis der Exponentialfunktion erst in der Differentialrechnung eine wichtige Rolle spielt. Die stetige Verzinsung bietet sich für den Unterricht an.
67	67	K3 wird bewusst weggelassen, weil es in [[BPE 4.6>>BPE_4_6]] behandelt wird.
68	68	Für K2 geben die Kompetenzen nur wenig her.
69	69	AFB III muss hier nicht erreicht werden.