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Version 8.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/22 15:15
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1 {{loesung}}
2 (% class="abc" %)
3 1. //Streckung in y-Richtung// mit dem Faktor {{formula}}-\frac{1}{2}{{/formula}}, //Verschiebung in y-Richtung// um {{formula}}-5{{/formula}}
4 {{formula}}g(x) = -\frac{1}{2} \cdot 2^x - 5{{/formula}}
5 1. //Spiegelung an der y-Achse//, //Streckung in y-Richtung// mit dem Faktor {{formula}}1{,}5{{/formula}}, //Verschiebung in y-Richtung// um {{formula}}1{{/formula}}
6 {{formula}}g(x) = 1{,}5 \cdot 2^{-x} + 1{{/formula}}
7 1. //Streckung in x-Richtung// mit dem Faktor {{formula}}0{,}5=\frac{1}{2}=\frac{1}{b}{{/formula}} (also {{formula}}b=2{{/formula}}) //Verschiebung in y-Richtung// um {{formula}}-2{{/formula}}
8 {{formula}}g(x) = 2^{2x} - 2{{/formula}}
9 {{/loesung}}
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11 ##Anmerkung (Strategiebox)
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13 1. **Grundfunktion erkennen:** Die Ausgangsfunktion lautet in der Regel {{formula}}f(x) = a \cdot q^x + d{{/formula}} mit {{formula}}q > 0, q \ne 1, a \ne 0{{/formula}}.
14 2. **Transformationen analysieren:** Identifiziere Spiegelungen, Streckungen und Verschiebungen – jeweils in x- oder y-Richtung.
15 3. **Transformationen in y-Richtung**:
16 - **Streckung/Stauchung/Spiegelung:** Multiplikation mit dem Faktor {{formula}}a{{/formula}} vor dem Exponentialausdruck.
17 - **Verschiebung:** Addition/Subtraktion eines Werts {{formula}}d{{/formula}} → ergibt eine horizontale Asymptote {{formula}}y = d{{/formula}}.
18 - Beispiel:
19 {{formula}}g(x) = -3 \cdot q^x + 2{{/formula}}
20 → Spiegelung an der x-Achse, Streckung mit 3, Verschiebung um +2
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22 4. **Transformationen in x-Richtung**: Diese wirken **im Exponenten** der Basisfunktion.
23 - **Streckung/Stauchung** der x-Achse durch Multiplikation des Exponenten:
24 z. B. {{formula}}f(x) = q^{k \cdot x}{{/formula}}
25 – mit \( k > 1 \) ⇒ gestaucht,
26 – mit \( 0 < k < 1 \) ⇒ gestreckt.
27 - **Verschiebung in x-Richtung** durch Subtraktion im Exponenten:
28 z. B. {{formula}}g(x) = q^{x - c}{{/formula}}
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30 5. **Zusammenhängende Exponenten beachten:** Die beiden Transformationen in x-Richtung (Streckung/Stauchung und Verschiebung) ergeben gemeinsam:
31 {{formula}}q^{k(x - c)}{{/formula}}
32 → beide wirken **integriert** auf das Verhalten der Funktion.
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34 6. **Funktionsterm zusammensetzen:** Kombiniere alle Transformationen zum Term:
35 {{formula}}g(x) = a \cdot q^{k(x - c)} + d{{/formula}}
36
37 7. **Graph analysieren oder skizzieren:**
38 - Lage und Verhalten der Asymptote: {{formula}}y = d{{/formula}}
39 - Startwert bei {{formula}}x = 0{{/formula}}, Verhalten für große x
40 - Monotonie, Wende- oder Extremstellen bei Bedarf prüfen
41 {{/strategie}}