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Lösung Funktionsterm aus Transformationen

Version 9.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/22 15:15
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Anmerkung (Strategiebox)

  1. Grundfunktion erkennen: Die Ausgangsfunktion lautet in der Regel f(x) = a \cdot q^x + d mit q > 0, q \ne 1, a \ne 0.
    2. Transformationen analysieren: Identifiziere Spiegelungen, Streckungen und Verschiebungen – jeweils in x- oder y-Richtung.
    3. Transformationen in y-Richtung:
       - Streckung/Stauchung/Spiegelung: Multiplikation mit dem Faktor a vor dem Exponentialausdruck.
       - Verschiebung: Addition/Subtraktion eines Werts d → ergibt eine horizontale Asymptote y = d.
       - Beispiel:  
        g(x) = -3 \cdot q^x + 2  
         → Spiegelung an der x-Achse, Streckung mit 3, Verschiebung um +2

4. Transformationen in x-Richtung: Diese wirken im Exponenten der Basisfunktion.
   - Streckung/Stauchung der x-Achse durch Multiplikation des Exponenten:  
     z. B. f(x) = q^{k \cdot x}  
     – mit \( k > 1 \) ⇒ gestaucht,  
     – mit \( 0 < k < 1 \) ⇒ gestreckt.
   - Verschiebung in x-Richtung durch Subtraktion im Exponenten:  
     z. B. g(x) = q^{x - c}

5. Zusammenhängende Exponenten beachten: Die beiden Transformationen in x-Richtung (Streckung/Stauchung und Verschiebung) ergeben gemeinsam:  
  q^{k(x - c)}  
   → beide wirken integriert auf das Verhalten der Funktion.

6. Funktionsterm zusammensetzen: Kombiniere alle Transformationen zum Term:  
  g(x) = a \cdot q^{k(x - c)} + d

7. Graph analysieren oder skizzieren:
   - Lage und Verhalten der Asymptote: y = d
   - Startwert bei x = 0, Verhalten für große x
   - Monotonie, Wende- oder Extremstellen bei Bedarf prüfen