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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
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1 +XWiki.martinrathgeb
Inhalt
... ... @@ -7,7 +7,6 @@
7 7  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 8  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
9 9  
10 -{{lehrende}}
11 11  Aufgaben:
12 12  – Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
13 13  Lösen von Exponentialgleichungen:
... ... @@ -18,227 +18,60 @@
18 18  - Näherungslösungen
19 19  
20 20  Gleichungen:
21 -{{formula}}x\pm y = e \Rightarrow y = e \mp x{{/formula}}
22 -{{formula}}x*y = e \Rightarrow y = e / x{{/formula}}
23 -{{formula}}e^y = x \Rightarrow y = \ln(x){{/formula}}
24 -{{/lehrende}}
20 +x+y = e --> y = e - x
21 +x*y = e --> y = e / x
22 +e^y = x --> y = ln(x)
25 25  
26 -{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
27 -Nenne jeweils eine passende Gleichung:
28 -
29 -Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich …
24 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (Fehlvorstellungen)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}
30 30  (% class="abc" %)
31 -1. … die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
32 -1. … von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
33 -1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
26 +1. (((Beurteile folgende Aussagen:
27 +1) Die Gleichung {{formula}} 5^x = 2 {{/formula}} kann ich nach x auflösen, indem ich durch 5 dividiere. Ich erhalte damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}}.
28 +2) Die Gleichung {{formula}} 5^x = 2 {{/formula}} kann ich nach x auflösen, indem ich die 5-te Wurzel verwende. Ich erhalte damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}}.
29 +3) Um die Gleichung {{formula}} 5^x = 2 {{/formula}} nach x aufzulösen, benötige ich eine neue Methode bzw. eine neue Operation.
30 +)))
31 +1. Umkehraufgabe: Gib für jede in a) falsche Methode eine passende Gleichung an.
34 34  {{/aufgabe}}
35 35  
36 -{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="I" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
34 +{{aufgabe id="Gleichungsformen instantiieren" afb="I" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
37 37  Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
38 -{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
36 +{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:. {{/formula}}
39 39  {{/aufgabe}}
40 40  
41 -{{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
42 -Ordne zu:
43 -(% class="border slim" %)
44 -|Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
45 -|{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((
46 -|x|0|1|2|3
47 -|y|1|2|4|8
48 -)))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
49 -|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
50 -|x|0|1|2|3
51 -|y|0|1|8|27
52 -)))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
53 -|{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
54 -|x|0|1|2|3
55 -|y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
56 -)))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
57 -|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}} |(((
58 -|x|0|1|2|3
59 -|y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
60 -)))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]
39 +{{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
40 +Ordne zu!
41 +(% class="abc" %)
42 +1. vier Gleichungen
43 +1. zwei Tabellen
44 +1. zwei Graphen
61 61  {{/aufgabe}}
62 62  
63 63  {{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
64 -Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
48 +Ordne (ohne WTR) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
65 65  
66 -[[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
50 +[[image:Logarithmus.svg||width="600px"]]
67 67  
68 68  (% class="abc" %)
69 -1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
70 -1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
71 -1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
53 +1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
54 +1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
55 +1. {{formula}} \log_{11}(10) {{/formula}}
72 72  1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
73 -1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
74 -1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
57 +1. {{formula}} \log_{10}(5) {{/formula}}
58 +1. {{formula}} \log_{11}(1000) {{/formula}}
75 75  1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
76 76  1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
77 77  1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
78 78  {{/aufgabe}}
79 79  
80 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
64 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch vs rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
81 81  (% class="abc" %)
82 82  Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} 2^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
83 83  {{/aufgabe}}
84 84  
85 -{{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
86 -Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.
87 -(%class="abc"%)
88 -1. (((
89 -(%class="border slim"%)
90 -|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}
91 -
92 -{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
93 -⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-4x^e+3=0{{/formula}}
94 -
95 -{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
96 -🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}
97 -
98 -{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
99 -⬋
100 -||(%align="center"%){{formula}}u^2-4u+3=0{{/formula}}
101 -(((
102 -(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
103 -|
104 -
105 -
106 -)))
107 -
108 -{{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
109 -|(%align="center"%)(((⬋
110 -{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
111 -(((
112 -(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
113 -|
114 -
115 -
116 -)))
117 -)))|(%align="center"%)(((🠗
118 -{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
119 -(((
120 -(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
121 -|
122 -
123 -
124 -)))
125 -)))|(%align="center"%)(((⬊
126 -{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
127 -(((
128 -(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
129 -|
130 -
131 -
132 -)))
133 -)))
134 -)))
135 -1. (((
136 -(%class="border slim"%)
137 -|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-3x^{-1}=0{{/formula}}
138 -
139 -{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
140 -⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-3x^e=0{{/formula}}
141 -
142 -{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
143 -🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-3e^x=0{{/formula}}
144 -
145 -{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
146 -⬋
147 -||(%align="center"%){{formula}}u^2-3u=0{{/formula}}
148 -(((
149 -(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
150 -|
151 -
152 -
153 -)))
154 -
155 -{{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
156 -|(%align="center"%)(((⬋
157 -{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
158 -(((
159 -(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
160 -|
161 -
162 -
163 -)))
164 -)))|(%align="center"%)(((🠗
165 -{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
166 -(((
167 -(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
168 -|
169 -
170 -
171 -)))
172 -)))|(%align="center"%)(((⬊
173 -{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
174 -(((
175 -(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
176 -|
177 -
178 -
179 -)))
180 -)))
181 -)))
182 -1. (((
183 -(%class="border slim"%)
184 -|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-2x^{-1}+3=0{{/formula}}
185 -
186 -{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
187 -⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-2x^e+3=0{{/formula}}
188 -
189 -{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
190 -🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-2e^x+3=0{{/formula}}
191 -
192 -{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
193 -⬋
194 -||(%align="center"%){{formula}}u^2-2u+3=0{{/formula}}
195 -(((
196 -(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
197 -|
198 -
199 -
200 -)))
201 -
202 -{{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
203 -|(%align="center"%)(((⬋
204 -{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
205 -(((
206 -(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
207 -|
208 -
209 -
210 -)))
211 -)))|(%align="center"%)(((🠗
212 -{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
213 -(((
214 -(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
215 -|
216 -
217 -
218 -)))
219 -)))|(%align="center"%)(((⬊
220 -{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
221 -(((
222 -(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
223 -|
224 -
225 -
226 -)))
227 -)))
228 -)))
69 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen Lösbarkeit (graphisch vs rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
70 +(% class="abc" %)
71 +Gegeben sind die beiden Gleichungen {{formula}} 2^x = y_0 \qquad x^2 = y_0 {{/formula}}. Untersuche ihre Lösbarkeit in Abhängigkeit von {{formula}} y_0 {{/formula}}.
229 229  {{/aufgabe}}
230 230  
231 -{{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
232 -Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
233 -
234 -(% class="border slim " %)
235 -|Typ 1 (Umkehroperationen)|Typ 2 (Ausklammern)|Typ 3 (Substitution)
236 -|{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
237 -|{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2x}+x^e+1 = 0{{/formula}}
238 -|{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
239 -|{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
240 -{{/aufgabe}}
241 -
242 242  {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
243 243  Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
244 244  (% class="abc" %)
... ... @@ -249,7 +249,7 @@
249 249  1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
250 250  {{/aufgabe}}
251 251  
252 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Nullproduktsatz)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
84 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Ausklammern, SVNP)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
253 253  Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
254 254  (% class="abc" %)
255 255  1. {{formula}} 2x=x^{2} {{/formula}}
... ... @@ -278,12 +278,12 @@
278 278  {{aufgabe id="Exponentialgleichungen graphisch" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
279 279  Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.
280 280  (% class="abc" %)
281 -1. {{formula}} 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
282 -1. {{formula}} 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
283 -1. {{formula}} 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 {{/formula}}
284 -1. {{formula}} 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x {{/formula}}
113 +a) {{formula}} 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
114 +b) {{formula}} 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
115 +c) {{formula}} 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 {{/formula}}
116 +d) {{formula}} 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x {{/formula}}
285 285  
286 -[[image:ExpGlei.svg||width="600px"]]
118 +[[image:ExpGlei.svg]]
287 287  {{/aufgabe}}
288 288  
289 289  {{seitenreflexion/}}
2^-xund8.ggb
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