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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -7,22 +7,6 @@
7 7  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 8  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
9 9  
10 -{{lehrende}}
11 -Aufgaben:
12 -– Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
13 -Lösen von Exponentialgleichungen:
14 -– Vokabelheft für Umkehroperationen
15 -– Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten
16 -– Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten
17 -– Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten
18 -- Näherungslösungen
19 -
20 -Gleichungen:
21 -{{formula}}x\pm y = e \Rightarrow y = e \mp x{{/formula}}
22 -{{formula}}x*y = e \Rightarrow y = e / x{{/formula}}
23 -{{formula}}e^y = x \Rightarrow y = \ln(x){{/formula}}
24 -{{/lehrende}}
25 -
26 26  {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
27 27  Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
28 28  (% class="abc" %)
... ... @@ -34,7 +34,7 @@
34 34  1. {{formula}} 4\cdot 5^x=100 {{/formula}}
35 35  {{/aufgabe}}
36 36  
37 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
21 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
38 38  Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
39 39  (% class="abc" %)
40 40  1. {{formula}} 2x-x^{2}=0 {{/formula}}
... ... @@ -45,7 +45,7 @@
45 45  
46 46  {{/aufgabe}}
47 47  
48 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
32 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
49 49  Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
50 50  (% class="abc" %)
51 51  1. {{formula}} -x^{2}+2x-3=0 {{/formula}}
... ... @@ -55,6 +55,28 @@
55 55  1. {{formula}} 2e^{4x}=e^{2x}+3 {{/formula}}
56 56  {{/aufgabe}}
57 57  
42 +{{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
43 +Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
44 +
45 +[[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
46 +
47 +(% class="abc" %)
48 +1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
49 +1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
50 +1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
51 +1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
52 +1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
53 +1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
54 +1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
55 +1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
56 +1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
57 +{{/aufgabe}}
58 +
59 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
60 +(% class="abc" %)
61 +Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} e^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
62 +{{/aufgabe}}
63 +
58 58  {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
59 59  Nenne jeweils eine passende Gleichung:
60 60  
... ... @@ -65,67 +65,36 @@
65 65  1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
66 66  {{/aufgabe}}
67 67  
68 -{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="I" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
69 -Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
70 -{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
71 -{{/aufgabe}}
72 -
73 73  {{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
74 74  Ordne zu:
75 75  (% class="border slim" %)
76 76  |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
77 -|{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((
78 +|{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}}|(((
78 78  |x|0|1|2|3
79 79  |y|1|2|4|8
80 80  )))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
81 81  |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
82 82  |x|0|1|2|3
83 -|y|0|1|8|27
84 +|y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
84 84  )))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
85 85  |{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
86 86  |x|0|1|2|3
87 87  |y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
88 88  )))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
89 -|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}} |(((
90 -|x|0|1|2|3
91 -|y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
92 -)))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]
93 93  {{/aufgabe}}
94 94  
95 -{{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
96 -Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
97 -
98 -[[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
99 -
100 -(% class="abc" %)
101 -1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
102 -1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
103 -1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
104 -1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
105 -1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
106 -1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
107 -1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
108 -1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
109 -1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
110 -{{/aufgabe}}
111 -
112 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
113 -(% class="abc" %)
114 -Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} 2^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
115 -{{/aufgabe}}
116 -
117 -{{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
92 +{{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
118 118  Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.
119 119  (%class="abc"%)
120 120  1. (((
121 121  (%class="border slim"%)
122 -|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}
97 +|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}
123 123  
124 124  {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
125 125  ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-4x^e+3=0{{/formula}}
126 126  
127 127  {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
128 -🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}
103 +🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}
129 129  
130 130  {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
131 131  ⬋
... ... @@ -260,7 +260,7 @@
260 260  )))
261 261  {{/aufgabe}}
262 262  
263 -{{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
238 +{{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
264 264  Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
265 265  
266 266  (% class="border slim " %)
... ... @@ -271,26 +271,63 @@
271 271  |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
272 272  {{/aufgabe}}
273 273  
249 +{{aufgabe id=" Exponentialgleichungen Rückwärts lösen" afb="II" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
250 +(% class="abc" %)
251 +1. ((({{{ }}}
274 274  
253 +{{formula}}
254 +\begin{align*}
255 +\square e^x-\square &= 0\\
256 +\square e^x &=\square\quad \left|:\square\\
257 +e^x &= \square \\
258 +x &= 0
259 +\end{align*}
260 +{{/formula}}
261 +)))
262 +1. ((({{{ }}}
275 275  
276 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
277 -Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen
278 -(% class="abc" %)
279 -1. {{formula}} 3^{x+1}=81 {{/formula}}
280 -1. {{formula}} 5^{2x}=25^{2x+2} {{/formula}}
281 -1. {{formula}} 10^{x}=500{{/formula}}
282 -1. {{formula}} 2^{x+3}=4^{x-1} {{/formula}}
264 +{{formula}}
265 +\begin{align*}
266 +e^2x-\square e^x &= 0 \\
267 +\square (x-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }
268 +\end{align*}
269 +{{/formula}}
270 +
271 +{{formula}}\Rightarrow x_{1,2}=\square; x_3=6{{/formula}}
272 +)))
273 +1. ((({{{ }}}
274 +
275 +{{formula}}\begin{align*}
276 +x^4+\square x^2+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } x^2:=\square\\
277 +z^2+\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
278 +\end{align*}
279 +{{/formula}}
280 +
281 +{{formula}}
282 +\begin{align*}
283 +\Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
284 +z_1&=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square}
285 +\end{align*}
286 +{{/formula}}
287 +
288 +{{formula}}
289 +\begin{align*}
290 +&\text{Resubst.: } \square := x^2\\
291 +&x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\
292 +&x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2
293 +\end{align*}
294 +{{/formula}})))
283 283  {{/aufgabe}}
284 284  
285 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen graphisch" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
286 -Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.
287 -(% class="abc" %)
288 -1. {{formula}} 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
289 -1. {{formula}} 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
290 -1. {{formula}} 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 {{/formula}}
291 -1. {{formula}} 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x {{/formula}}
292 292  
293 -[[image:ExpGlei.svg||width="600px"]]
298 +
299 +
300 +
301 +
302 +
303 +{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
304 +Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
305 +{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
294 294  {{/aufgabe}}
295 295  
296 296  {{seitenreflexion/}}