Änderungen von Dokument BPE 4.5 Logarithmus und Exponentialgleichungen
Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/05/27 13:21
Zusammenfassung
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Details
- Seiteneigenschaften
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- Inhalt
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... ... @@ -7,22 +7,6 @@ 7 7 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren 8 8 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren 9 9 10 -{{lehrende}} 11 -Aufgaben: 12 -– Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator 13 -Lösen von Exponentialgleichungen: 14 -– Vokabelheft für Umkehroperationen 15 -– Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten 16 -– Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten 17 -– Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten 18 -- Näherungslösungen 19 - 20 -Gleichungen: 21 -{{formula}}x\pm y = e \Rightarrow y = e \mp x{{/formula}} 22 -{{formula}}x*y = e \Rightarrow y = e / x{{/formula}} 23 -{{formula}}e^y = x \Rightarrow y = \ln(x){{/formula}} 24 -{{/lehrende}} 25 - 26 26 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}} 27 27 Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung: 28 28 (% class="abc" %) ... ... @@ -34,25 +34,49 @@ 34 34 1. {{formula}} 4\cdot 5^x=100 {{/formula}} 35 35 {{/aufgabe}} 36 36 37 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="I I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}21 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}} 38 38 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung: 39 39 (% class="abc" %) 40 40 1. {{formula}} 2x-x^{2}=0 {{/formula}} 41 -1. {{formula}} 2e^x-e^{2x} {{/formula}} 42 -1. {{formula}} 2e^x=e^{2x} {{/formula}} 25 +1. {{formula}} 2e^x-e^{2x}=0 {{/formula}} 26 +1. {{formula}} \frac{1}{3}e^x=e^{2x} {{/formula}} 27 +1. {{formula}} 3e^{-x}=2e^{2x} {{/formula}} 43 43 1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}} 44 44 45 45 {{/aufgabe}} 46 46 47 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="I II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}32 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}} 48 48 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung: 49 49 (% class="abc" %) 50 -1. {{formula}} 2x-3=x^{2} {{/formula}} 51 -1. {{formula}} 2e^x-e^{2x}=0 {{/formula}} 52 -1. {{formula}} 2e^x-3=e^{2x} {{/formula}} 53 -1. {{formula}} 2e^{x-3}=e^{2x-3} {{/formula}} 35 +1. {{formula}} -x^{2}+2x-3=0 {{/formula}} 36 +1. {{formula}} -e^{2x}+2e^x-3=0 {{/formula}} 37 +1. {{formula}} e^x+2e^{\frac{1}{2}x}-3=0 {{/formula}} 38 +1. {{formula}} e^x-2-\frac{15}{e^x}}=0 {{/formula}} 39 +1. {{formula}} 2e^{4x}=e^{2x}+3 {{/formula}} 54 54 {{/aufgabe}} 55 55 42 +{{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}} 43 +Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein. 44 + 45 +[[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]] 46 + 47 +(% class="abc" %) 48 +1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}} 49 +1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}} 50 +1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}} 51 +1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}} 52 +1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}} 53 +1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}} 54 +1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}} 55 +1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}} 56 +1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}} 57 +{{/aufgabe}} 58 + 59 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}} 60 +(% class="abc" %) 61 +Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} e^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch. 62 +{{/aufgabe}} 63 + 56 56 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}} 57 57 Nenne jeweils eine passende Gleichung: 58 58 ... ... @@ -63,67 +63,36 @@ 63 63 1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte. 64 64 {{/aufgabe}} 65 65 66 -{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="I" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}} 67 -Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll: 68 -{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}} 69 -{{/aufgabe}} 70 - 71 71 {{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}} 72 72 Ordne zu: 73 73 (% class="border slim" %) 74 74 |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder 75 -|{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|((( 78 +|{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}}|((( 76 76 |x|0|1|2|3 77 77 |y|1|2|4|8 78 78 )))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]] 79 79 |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |((( 80 80 |x|0|1|2|3 81 -|y| 0|1|8|2784 +|y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}} 82 82 )))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]] 83 83 |{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |((( 84 84 |x|0|1|2|3 85 85 |y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}} 86 86 )))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]] 87 -|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}} |((( 88 -|x|0|1|2|3 89 -|y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}} 90 -)))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]] 91 91 {{/aufgabe}} 92 92 93 -{{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}} 94 -Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein. 95 - 96 -[[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]] 97 - 98 -(% class="abc" %) 99 -1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}} 100 -1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}} 101 -1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}} 102 -1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}} 103 -1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}} 104 -1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}} 105 -1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}} 106 -1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}} 107 -1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}} 108 -{{/aufgabe}} 109 - 110 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}} 111 -(% class="abc" %) 112 -Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} 2^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch. 113 -{{/aufgabe}} 114 - 115 -{{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}} 92 +{{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}} 116 116 Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution. 117 117 (%class="abc"%) 118 118 1. ((( 119 119 (%class="border slim"%) 120 -|(%align="center" width="160"%){{formula}} x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}97 +|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}} 121 121 122 122 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}} 123 123 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-4x^e+3=0{{/formula}} 124 124 125 125 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}} 126 -🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}} e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}103 +🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}} 127 127 128 128 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}} 129 129 ⬋ ... ... @@ -258,7 +258,7 @@ 258 258 ))) 259 259 {{/aufgabe}} 260 260 261 -{{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}} 238 +{{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}} 262 262 Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen: 263 263 264 264 (% class="border slim " %) ... ... @@ -269,26 +269,9 @@ 269 269 |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}} 270 270 {{/aufgabe}} 271 271 272 - 273 - 274 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}} 275 -Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen 276 -(% class="abc" %) 277 -1. {{formula}} 3^{x+1}=81 {{/formula}} 278 -1. {{formula}} 5^{2x}=25^{2x+2} {{/formula}} 279 -1. {{formula}} 10^{x}=500{{/formula}} 280 -1. {{formula}} 2^{x+3}=4^{x-1} {{/formula}} 249 +{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}} 250 +Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll: 251 +{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}} 281 281 {{/aufgabe}} 282 282 283 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen graphisch" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}} 284 -Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu. 285 -(% class="abc" %) 286 -1. {{formula}} 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}} 287 -1. {{formula}} 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}} 288 -1. {{formula}} 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 {{/formula}} 289 -1. {{formula}} 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x {{/formula}} 290 - 291 -[[image:ExpGlei.svg||width="600px"]] 292 -{{/aufgabe}} 293 - 294 294 {{seitenreflexion/}}