Änderungen von Dokument BPE 4.5 Logarithmus und Exponentialgleichungen

Zusammenfassung

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Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.fujan
	1	+XWiki.martinrathgeb

Inhalt

...	...	@@ -18,41 +18,46 @@
18	18	- Näherungslösungen
19	19
20	20	Gleichungen:
21		-{{formula}}x\pm y = e \Rightarrow y = e \mp x{{/formula}}
22		-{{formula}}x*y = e \Rightarrow y = e / x{{/formula}}
23		-{{formula}}e^y = x \Rightarrow y = \ln(x){{/formula}}
	21	+{{formula}}x+y = e \rightarrow y = e - x{{/formula}}
	22	+{{formula}}x*y = e \rightarrow y = e / x{{/formula}}
	23	+{{formula}}e^y = x \rightarrow y = {{{ln(x)}}}{{/formula}}
24	24	{{/lehrende}}
25	25
26		-{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
27		-Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
28		-(% class="abc" %)
	26	+{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
	27	+Nenne jeweils eine passende Gleichung:
29	29
30		-1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
31		-1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
32		-1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
33		-1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
34		-1. {{formula}} 4\cdot 5^x=100 {{/formula}}
	29	+Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich …
	30	+(% class="abc" %)
	31	+1. … die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
	32	+1. … von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
	33	+1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
35	35	{{/aufgabe}}
36	36
37		-{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
38		-Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
39		-(% class="abc" %)
40		-1. {{formula}} 2x-x^{2}=0 {{/formula}}
41		-1. {{formula}} 2e^x-e^{2x}=0 {{/formula}}
42		-1. {{formula}} \frac{1}{3}e^x=e^{2x} {{/formula}}
43		-1. {{formula}} 3e^{-x}=2e^{2x} {{/formula}}
44		-1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
45		-
	36	+{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="I" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
	37	+Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
	38	+{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
46	46	{{/aufgabe}}
47	47
48		-{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
49		-Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
50		-(% class="abc" %)
51		-1. {{formula}} -x^{2}+2x-3=0 {{/formula}}
52		-1. {{formula}} -e^{2x}+2e^x-3=0 {{/formula}}
53		-1. {{formula}} e^x+2e^{\frac{1}{2}x}-3=0 {{/formula}}
54		-1. {{formula}} e^x-2-\frac{15}{e^x}}=0 {{/formula}}
55		-1. {{formula}} 2e^{4x}=e^{2x}+3 {{/formula}}
	41	+{{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
	42	+Ordne zu:
	43	+(% class="border slim " %)
	44	+|Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
	45	+|{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((
	46	+|x|0|1|2|3
	47	+|y|1|2|4|8
	48	+)))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
	49	+|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
	50	+|x|0|1|2|3
	51	+|y|0|1|8|27
	52	+)))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
	53	+|{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
	54	+|x|0|1|2|3
	55	+|y|1|\frac{1}{2}|\frac{1}{4}|\frac{1}{8}
	56	+)))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
	57	+|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}} |(((
	58	+|x|0|1|2|3
	59	+|y|n.d.|1|\frac{1}{8}|\frac{1}{27}
	60	+)))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]
56	56	{{/aufgabe}}
57	57
58	58	{{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
...	...	@@ -72,200 +72,72 @@
72	72	1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
73	73	{{/aufgabe}}
74	74
75		-{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
	80	+{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
76	76	(% class="abc" %)
77		-Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} e^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
	82	+Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} 2^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
78	78	{{/aufgabe}}
79	79
80		-{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
81		-Nenne jeweils eine passende Gleichung:
82		-
83		-Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich …
	85	+{{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
84	84	(% class="abc" %)
85		-1. … die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
86		-1. … von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
87		-1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
	87	+Aufgabe als Dokument im Anhang ‚unten‘.
88	88	{{/aufgabe}}
89	89
90		-{{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
91		-Ordne zu:
92		-(% class="border slim" %)
93		-|Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
94		-|{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((
95		-|x|0|1|2|3
96		-|y|1|2|4|8
97		-)))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
98		-|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
99		-|x|0|1|2|3
100		-|y|0|1|8|27
101		-)))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
102		-|{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
103		-|x|0|1|2|3
104		-|y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
105		-)))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
106		-{{/aufgabe}}
107		-
108		-
109		-{{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
110		-Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.
111		-(%class="abc"%)
112		-1. (((
113		-(%class="border slim"%)
114		-|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}
115		-
116		-{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
117		-⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-4x^e+3=0{{/formula}}
118		-
119		-{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
120		-🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}
121		-
122		-{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
123		-⬋
124		-||(%align="center"%){{formula}}u^2-4u+3=0{{/formula}}
125		-(((
126		-(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
127		-|
128		-
129		-
130		-)))
131		-
132		-{{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
133		-|(%align="center"%)(((⬋
134		-{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
135		-(((
136		-(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
137		-|
138		-
139		-
140		-)))
141		-)))|(%align="center"%)(((🠗
142		-{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
143		-(((
144		-(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
145		-|
146		-
147		-
148		-)))
149		-)))|(%align="center"%)(((⬊
150		-{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
151		-(((
152		-(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
153		-|
154		-
155		-
156		-)))
157		-)))
158		-)))
159		-1. (((
160		-(%class="border slim"%)
161		-|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-3x^{-1}=0{{/formula}}
162		-
163		-{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
164		-⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-3x^e=0{{/formula}}
165		-
166		-{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
167		-🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-3e^x=0{{/formula}}
168		-
169		-{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
170		-⬋
171		-||(%align="center"%){{formula}}u^2-3u=0{{/formula}}
172		-(((
173		-(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
174		-|
175		-
176		-
177		-)))
178		-
179		-{{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
180		-|(%align="center"%)(((⬋
181		-{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
182		-(((
183		-(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
184		-|
185		-
186		-
187		-)))
188		-)))|(%align="center"%)(((🠗
189		-{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
190		-(((
191		-(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
192		-|
193		-
194		-
195		-)))
196		-)))|(%align="center"%)(((⬊
197		-{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
198		-(((
199		-(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
200		-|
201		-
202		-
203		-)))
204		-)))
205		-)))
206		-1. (((
207		-(%class="border slim"%)
208		-|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-2x^{-1}+3=0{{/formula}}
209		-
210		-{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
211		-⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-2x^e+3=0{{/formula}}
212		-
213		-{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
214		-🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-2e^x+3=0{{/formula}}
215		-
216		-{{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
217		-⬋
218		-||(%align="center"%){{formula}}u^2-2u+3=0{{/formula}}
219		-(((
220		-(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
221		-|
222		-
223		-
224		-)))
225		-
226		-{{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
227		-|(%align="center"%)(((⬋
228		-{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
229		-(((
230		-(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
231		-|
232		-
233		-
234		-)))
235		-)))|(%align="center"%)(((🠗
236		-{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
237		-(((
238		-(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
239		-|
240		-
241		-
242		-)))
243		-)))|(%align="center"%)(((⬊
244		-{{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
245		-(((
246		-(%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
247		-|
248		-
249		-
250		-)))
251		-)))
252		-)))
253		-{{/aufgabe}}
254		-
255		-{{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
	90	+{{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
256	256	Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
257	257
258	258	(% class="border slim " %)
259		-|Typ 1 (Umkehroperationen)|Typ 2 (Ausklammern)|Typ 3 (Substitution)
	94	+|Typ 1 Umkehroperationen|Typ 2 Ausklammern|Typ 3 Substitution
260	260	|{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
261		-|{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2e}+x^e+1 = 0{{/formula}}
	96	+|{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2x}+x^e+1 = 0{{/formula}}
262	262	|{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
263	263	|{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
264	264	{{/aufgabe}}
265	265
266		-{{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
267		-Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
268		-{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
	101	+{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
	102	+Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
	103	+(% class="abc" %)
	104	+1. {{formula}} 4\cdot 0,5^x=100 {{/formula}}
	105	+1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
	106	+1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
	107	+1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
	108	+1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
269	269	{{/aufgabe}}
270	270
	111	+{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Nullproduktsatz)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
	112	+Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
	113	+(% class="abc" %)
	114	+1. {{formula}} 2x=x^{2} {{/formula}}
	115	+1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
	116	+1. {{formula}} 2e^x=e^{2x} {{/formula}}
	117	+{{/aufgabe}}
	118	+
	119	+{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
	120	+Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
	121	+(% class="abc" %)
	122	+1. {{formula}} 2x-3=x^{2} {{/formula}}
	123	+1. {{formula}} 2x^e-3=x^{2e} {{/formula}}
	124	+1. {{formula}} 2e^x-3=e^{2x} {{/formula}}
	125	+1. {{formula}} 2e^{x-3}=e^{2x-3} {{/formula}}
	126	+{{/aufgabe}}
	127	+
	128	+{{aufgabe id="Exponentialgleichungen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
	129	+Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen
	130	+(% class="abc" %)
	131	+1. {{formula}} 3^{x+1}=81 {{/formula}}
	132	+1. {{formula}} 5^{2x}=25^{2x+2} {{/formula}}
	133	+1. {{formula}} 10^{x}=500{{/formula}}
	134	+1. {{formula}} 2^{x+3}=4^{x-1} {{/formula}}
	135	+{{/aufgabe}}
	136	+
	137	+{{aufgabe id="Exponentialgleichungen graphisch" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
	138	+Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.
	139	+(% class="abc" %)
	140	+1. {{formula}} 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
	141	+1. {{formula}} 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
	142	+1. {{formula}} 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 {{/formula}}
	143	+1. {{formula}} 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x {{/formula}}
	144	+
	145	+[[image:ExpGlei.svg||width="600px"]]
	146	+{{/aufgabe}}
	147	+
271	271	{{seitenreflexion/}}