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Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/05/27 13:21
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bearbeitet von Holger Engels
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.fujan
1 +XWiki.holgerengels
Inhalt
... ... @@ -7,22 +7,6 @@
7 7  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 8  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
9 9  
10 -{{lehrende}}
11 -Aufgaben:
12 -– Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
13 -Lösen von Exponentialgleichungen:
14 -– Vokabelheft für Umkehroperationen
15 -– Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten
16 -– Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten
17 -– Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten
18 -- Näherungslösungen
19 -
20 -Gleichungen:
21 -{{formula}}x\pm y = e \Rightarrow y = e \mp x{{/formula}}
22 -{{formula}}x*y = e \Rightarrow y = e / x{{/formula}}
23 -{{formula}}e^y = x \Rightarrow y = \ln(x){{/formula}}
24 -{{/lehrende}}
25 -
26 26  {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
27 27  Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
28 28  (% class="abc" %)
... ... @@ -42,16 +42,15 @@
42 42  1. {{formula}} \frac{1}{3}e^x=e^{2x} {{/formula}}
43 43  1. {{formula}} 3e^{-x}=2e^{2x} {{/formula}}
44 44  1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
45 -
46 46  {{/aufgabe}}
47 47  
48 48  {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
49 49  Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
50 50  (% class="abc" %)
51 -1. {{formula}} -x^{2}+2x-3=0 {{/formula}}
52 -1. {{formula}} -e^{2x}+2e^x-3=0 {{/formula}}
53 -1. {{formula}} e^x+2e^{\frac{1}{2}x}-3=0 {{/formula}}
54 -1. {{formula}} e^x-2-\frac{15}{e^x}}=0 {{/formula}}
34 +1. {{formula}} x^{2}-2x-3=0 {{/formula}}
35 +1. {{formula}} e^{2x}-2e^x-3=0 {{/formula}}
36 +1. {{formula}} e^x-2e^{\frac{1}{2}x}-3=0 {{/formula}}
37 +1. {{formula}} e^x-2-\frac{8}{e^x}}=0 {{/formula}}
55 55  1. {{formula}} 2e^{4x}=e^{2x}+3 {{/formula}}
56 56  {{/aufgabe}}
57 57  
... ... @@ -72,7 +72,7 @@
72 72  1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
73 73  {{/aufgabe}}
74 74  
75 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
58 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
76 76  (% class="abc" %)
77 77  Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} e^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
78 78  {{/aufgabe}}
... ... @@ -102,7 +102,7 @@
102 102  |{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
103 103  |x|0|1|2|3
104 104  |y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
105 -)))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
88 +)))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]
106 106  {{/aufgabe}}
107 107  
108 108  {{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
... ... @@ -262,6 +262,58 @@
262 262  |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
263 263  {{/aufgabe}}
264 264  
248 +{{aufgabe id=" Exponentialgleichungen rückwärts lösen" afb="II" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
249 +(% class="abc" %)
250 +1. ((({{{ }}}
251 +
252 +{{formula}}
253 +\begin{align*}
254 +\square e^x-2 &= 0\\
255 +\square e^x &=\square\quad \left|:\square\\
256 +e^x &= \square \\
257 +x &= 0
258 +\end{align*}
259 +{{/formula}}
260 +)))
261 +1. ((({{{ }}}
262 +
263 +{{formula}}
264 +\begin{align*}
265 +e^{2x}-\square e^x &= 0 \\
266 +e^x \cdot (\square-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }
267 +\end{align*}
268 +{{/formula}}
269 +
270 +{{formula}}
271 +e^x \neq 0 ~und~ e^x-\square = 0{{/formula}}
272 +{{formula}} e^x=\square {{/formula}}
273 +{{formula}} x =\square {{/formula}}
274 +)))
275 +1. ((({{{ }}}
276 +
277 +{{formula}}
278 +\begin{align*}
279 +e^{2x}-\square e^x+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } e^x:=\square\\
280 +z^2-\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
281 +\end{align*}
282 +{{/formula}}
283 +
284 +{{formula}}
285 +\begin{align*}
286 +\Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
287 +z_{1,2}&=\frac{\square+\square}{\square}
288 +\end{align*}
289 +{{/formula}}
290 +
291 +{{formula}}
292 +\begin{align*}
293 +&\text{Resubst.: } z:= e^x\\
294 +&e^x=\square \Rightarrow x \approx 0,693147...\\
295 +\end{align*}
296 +{{/formula}}
297 +)))
298 +{{/aufgabe}}
299 +
265 265  {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
266 266  Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
267 267  {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}