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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -7,6 +7,22 @@
7 7  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 8  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
9 9  
10 +{{lehrende}}
11 +Aufgaben:
12 +– Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
13 +Lösen von Exponentialgleichungen:
14 +– Vokabelheft für Umkehroperationen
15 +– Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten
16 +– Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten
17 +– Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten
18 +- Näherungslösungen
19 +
20 +Gleichungen:
21 +{{formula}}x\pm y = e \Rightarrow y = e \mp x{{/formula}}
22 +{{formula}}x*y = e \Rightarrow y = e / x{{/formula}}
23 +{{formula}}e^y = x \Rightarrow y = \ln(x){{/formula}}
24 +{{/lehrende}}
25 +
10 10  {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
11 11  Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
12 12  (% class="abc" %)
... ... @@ -18,7 +18,7 @@
18 18  1. {{formula}} 4\cdot 5^x=100 {{/formula}}
19 19  {{/aufgabe}}
20 20  
21 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
37 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
22 22  Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
23 23  (% class="abc" %)
24 24  1. {{formula}} 2x-x^{2}=0 {{/formula}}
... ... @@ -29,7 +29,7 @@
29 29  
30 30  {{/aufgabe}}
31 31  
32 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
48 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
33 33  Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
34 34  (% class="abc" %)
35 35  1. {{formula}} -x^{2}+2x-3=0 {{/formula}}
... ... @@ -71,24 +71,31 @@
71 71  1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
72 72  {{/aufgabe}}
73 73  
90 +
74 74  {{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
75 75  Ordne zu:
76 76  (% class="border slim" %)
77 77  |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
78 -|{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}}|(((
95 +|{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((
79 79  |x|0|1|2|3
80 80  |y|1|2|4|8
81 81  )))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
82 82  |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
83 83  |x|0|1|2|3
84 -|y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
101 +|y|0|1|8|27
85 85  )))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
86 86  |{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
87 87  |x|0|1|2|3
88 88  |y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
89 89  )))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
107 +|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}} |(((
108 +|x|0|1|2|3
109 +|y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
110 +)))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]
90 90  {{/aufgabe}}
91 91  
113 +
114 +
92 92  {{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
93 93  Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.
94 94  (%class="abc"%)
... ... @@ -235,7 +235,7 @@
235 235  )))
236 236  {{/aufgabe}}
237 237  
238 -{{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
261 +{{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
239 239  Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
240 240  
241 241  (% class="border slim " %)
... ... @@ -246,61 +246,28 @@
246 246  |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
247 247  {{/aufgabe}}
248 248  
249 -{{aufgabe id=" Exponentialgleichungen Rückwärts lösen" afb="II" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
250 -(% class="abc" %)
251 -1. ((({{{ }}}
252 252  
253 -{{formula}}
254 -\begin{align*}
255 -\square e^x-\square &= 0\\
256 -\square e^x &=\square\quad \left|:\square\\
257 -e^x &= \square \\
258 -x &= 0
259 -\end{align*}
260 -{{/formula}}
261 -)))
262 -1. ((({{{ }}}
263 -
264 -{{formula}}
265 -\begin{align*}
266 -e^{2x}-\square e^x &= 0 \\
267 - e^x(\square-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }
268 -\end{align*}
269 -{{/formula}}
270 270  
271 -{{formula}}\ e^x \neq 0 ~und~ e^x-\square = 0{{/formula}})))
272 -{{formula}}\Rightarrow x =\square {{/formula}}
273 -)))
274 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
275 +Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen
276 +(% class="abc" %)
277 +1. {{formula}} 3^{x+1}=81 {{/formula}}
278 +1. {{formula}} 5^{2x}=25^{2x+2} {{/formula}}
279 +1. {{formula}} 10^{x}=500{{/formula}}
280 +1. {{formula}} 2^{x+3}=4^{x-1} {{/formula}}
281 +{{/aufgabe}}
274 274  
275 -1. ((({{{ }}}
276 -{{formula}}\begin{align*}
277 -x^4+\square x^2+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } x^2:=\square\\
278 -z^2+\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
279 -\end{align*}
280 -{{/formula}}
283 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen graphisch" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
284 +Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.
285 +(% class="abc" %)
286 +1. {{formula}} 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
287 +1. {{formula}} 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
288 +1. {{formula}} 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 {{/formula}}
289 +1. {{formula}} 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x {{/formula}}
281 281  
282 -{{formula}}
283 -\begin{align*}
284 -\Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
285 -z_1&=\frac{\square+\square}{\square}; z_2=\frac{\square-\square}{\square}
286 -\end{align*}
287 -{{/formula}}
288 -
289 -{{formula}}
290 -\begin{align*}
291 -&\text{Resubst.: } \square := x^2\\
292 -&x_{1,2}^2=36 \Rightarrow x_{1,2}=\square\\
293 -&x_{3,4}^2=\square \Rightarrow x_{3,4}=\pm 2
294 -\end{align*}
295 -{{/formula}}
291 +[[image:ExpGlei.svg||width="600px"]]
296 296  {{/aufgabe}}
297 297  
298 -
299 -
300 -
301 -
302 -
303 -
304 304  {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
305 305  Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
306 306  {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}