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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.holgerengels
1 +XWiki.fujan
Inhalt
... ... @@ -7,6 +7,22 @@
7 7  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 8  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
9 9  
10 +{{lehrende}}
11 +Aufgaben:
12 +– Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
13 +Lösen von Exponentialgleichungen:
14 +– Vokabelheft für Umkehroperationen
15 +– Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten
16 +– Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten
17 +– Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten
18 +- Näherungslösungen
19 +
20 +Gleichungen:
21 +{{formula}}x\pm y = e \Rightarrow y = e \mp x{{/formula}}
22 +{{formula}}x*y = e \Rightarrow y = e / x{{/formula}}
23 +{{formula}}e^y = x \Rightarrow y = \ln(x){{/formula}}
24 +{{/lehrende}}
25 +
10 10  {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
11 11  Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
12 12  (% class="abc" %)
... ... @@ -18,7 +18,7 @@
18 18  1. {{formula}} 4\cdot 5^x=100 {{/formula}}
19 19  {{/aufgabe}}
20 20  
21 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
37 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
22 22  Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
23 23  (% class="abc" %)
24 24  1. {{formula}} 2x-x^{2}=0 {{/formula}}
... ... @@ -26,19 +26,20 @@
26 26  1. {{formula}} \frac{1}{3}e^x=e^{2x} {{/formula}}
27 27  1. {{formula}} 3e^{-x}=2e^{2x} {{/formula}}
28 28  1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
45 +
29 29  {{/aufgabe}}
30 30  
31 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
48 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
32 32  Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
33 33  (% class="abc" %)
34 -1. {{formula}} x^{2}-2x-3=0 {{/formula}}
35 -1. {{formula}} e^{2x}-2e^x-3=0 {{/formula}}
36 -1. {{formula}} e^x-2e^{\frac{1}{2}x}-3=0 {{/formula}}
37 -1. {{formula}} e^x-2-\frac{8}{e^x}}=0 {{/formula}}
51 +1. {{formula}} -x^{2}+2x-3=0 {{/formula}}
52 +1. {{formula}} -e^{2x}+2e^x-3=0 {{/formula}}
53 +1. {{formula}} e^x+2e^{\frac{1}{2}x}-3=0 {{/formula}}
54 +1. {{formula}} e^x-2-\frac{15}{e^x}}=0 {{/formula}}
38 38  1. {{formula}} 2e^{4x}=e^{2x}+3 {{/formula}}
39 39  {{/aufgabe}}
40 40  
41 -{{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="III" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
58 +{{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
42 42  Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
43 43  
44 44  [[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
... ... @@ -46,15 +46,16 @@
46 46  (% class="abc" %)
47 47  1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
48 48  1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
66 +1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
49 49  1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
68 +1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
50 50  1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
51 -1. {{formula}} \log_{0.1}(0.01) {{/formula}}
52 52  1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
53 53  1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
54 54  1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
55 55  {{/aufgabe}}
56 56  
57 -{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
75 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
58 58  (% class="abc" %)
59 59  Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} e^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
60 60  {{/aufgabe}}
... ... @@ -69,24 +69,31 @@
69 69  1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
70 70  {{/aufgabe}}
71 71  
90 +
72 72  {{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
73 73  Ordne zu:
74 74  (% class="border slim" %)
75 75  |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
76 -|{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}}|(((
95 +|{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((
77 77  |x|0|1|2|3
78 78  |y|1|2|4|8
79 79  )))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
80 80  |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
81 81  |x|0|1|2|3
82 -|y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
101 +|y|0|1|8|27
83 83  )))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
84 84  |{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
85 85  |x|0|1|2|3
86 86  |y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
106 +)))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
107 +|{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}} |(((
108 +|x|0|1|2|3
109 +|y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
87 87  )))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]
88 88  {{/aufgabe}}
89 89  
113 +
114 +
90 90  {{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
91 91  Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.
92 92  (%class="abc"%)
... ... @@ -233,7 +233,7 @@
233 233  )))
234 234  {{/aufgabe}}
235 235  
236 -{{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
261 +{{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
237 237  Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
238 238  
239 239  (% class="border slim " %)
... ... @@ -244,65 +244,31 @@
244 244  |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
245 245  {{/aufgabe}}
246 246  
247 -{{aufgabe id=" Exponentialgleichungen rückwärts lösen" afb="II" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
248 -(% class="abc" %)
249 -1. ((({{{ }}}
250 250  
251 -{{formula}}
252 -\begin{align*}
253 -\square e^x-2 &= 0\\
254 -\square e^x &=\square\quad \left|:\square\\
255 -e^x &= \square \\
256 -x &= 0
257 -\end{align*}
258 -{{/formula}}
259 -)))
260 -1. ((({{{ }}}
261 261  
262 -{{formula}}
263 -\begin{align*}
264 -e^{2x}-\square e^x &= 0 \\
265 -e^x \cdot (\square-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }
266 -\end{align*}
267 -{{/formula}}
274 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
275 +Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen
276 +(% class="abc" %)
277 +1. {{formula}} 3^{x+1}=81 {{/formula}}
278 +1. {{formula}} 5^{2x}=25^{2x+2} {{/formula}}
279 +1. {{formula}} 10^{x}=500{{/formula}}
280 +1. {{formula}} 2^{x+3}=4^{x-1} {{/formula}}
281 +{{/aufgabe}}
268 268  
269 -{{formula}}
270 -e^x \neq 0 ~und~ e^x-\square = 0{{/formula}}
271 -{{formula}} e^x=\square {{/formula}}
272 -{{formula}} x =\square {{/formula}}
273 -)))
274 -1. ((({{{ }}}
283 +{{aufgabe id="Exponentialgleichungen graphisch" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
284 +Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.
285 +(% class="abc" %)
286 +1. {{formula}} 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
287 +1. {{formula}} 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
288 +1. {{formula}} 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 {{/formula}}
289 +1. {{formula}} 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x {{/formula}}
275 275  
276 -{{formula}}
277 -\begin{align*}
278 -e^{2x}-\square e^x+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } e^x:=\square\\
279 -z^2-\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
280 -\end{align*}
281 -{{/formula}}
282 -
283 -{{formula}}
284 -\begin{align*}
285 -\Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
286 -z_{1,2}&=\frac{\square+\square}{\square}
287 -\end{align*}
288 -{{/formula}}
289 -
290 -{{formula}}
291 -\begin{align*}
292 -&\text{Resubst.: } z:= e^x\\
293 -&e^x=\square \Rightarrow x \approx 0,693147...\\
294 -\end{align*}
295 -{{/formula}}
296 -)))
291 +[[image:ExpGlei.svg||width="600px"]]
297 297  {{/aufgabe}}
298 298  
299 299  {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
300 300  Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
301 -{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:. {{/formula}}
296 +{{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
302 302  {{/aufgabe}}
303 303  
304 -{{lehrende}}
305 -K3 wird in BPE 4.6 behandelt
306 -{{/lehrende}}
307 -
308 -{{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5" /}}
299 +{{seitenreflexion/}}
2^-xund8.svg
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Darstellungen zuordnen.ggb
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Zahlenstrahl.png
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