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Version 107.1 von Dirk Tebbe am 2025/02/26 15:04
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
5 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
6 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
7 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
9
10 Aufgaben:
11 – Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
12 Lösen von Exponentialgleichungen:
13 – Vokabelheft für Umkehroperationen
14 – Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten
15 – Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten
16 – Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten
17 - Näherungslösungen
18
19 Gleichungen:
20 x+y = e --> y = e - x
21 x*y = e --> y = e / x
22 e^y = x --> y = ln(x)
23
24 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
25 Nenne eine passende Gleichung. Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich {{formula}} \ldots {{/formula}}
26 (% class="abc" %)
27 1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
28 1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
29 1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
30 {{/aufgabe}}
31
32 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="I" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
33 Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
34 {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
35 {{/aufgabe}}
36
37 {{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
38 Ordne zu!
39 (% class="border slim " %)
40 |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
41
42 (% class="abc" %)
43 1. (((Gleichungen (implizite und explizite):
44 1. {{formula}} x^3 = 8 {{/formula}}
45 1. {{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}
46 1. {{formula}} x = \sqrt[3]{8=} {{/formula}}
47 1. {{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}}
48 )))
49 1. Wertetabellen:
50 (((
51 |x|0|1|2|3
52 |y|0|1|8|27
53 )))
54
55 (((
56 |x|0|1|2|3
57 |y|0|1|8|27
58 )))
59 1. zwei Graphen
60 [[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
61 [[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
62 {{/aufgabe}}
63
64 {{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
65 Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
66
67 [[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
68
69 (% class="abc" %)
70 1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
71 1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
72 1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
73 1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
74 1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
75 1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
76 1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
77 1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
78 1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
79 {{/aufgabe}}
80
81 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch vs rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
82 (% class="abc" %)
83 Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} 2^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
84 {{/aufgabe}}
85
86 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen Lösbarkeit (graphisch vs rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
87 (% class="abc" %)
88 Gegeben sind die beiden Gleichungen {{formula}} x^2 = a {{/formula}} und {{formula}} 2^x = a {{/formula}} für {{formula}} a \in \mathbb{R} {{/formula}}. Untersuche ihre Lösbarkeit in Abhängigkeit von {{formula}} a {{/formula}}.
89 {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:. {{/formula}}
90 {{/aufgabe}}
91
92
93 {{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
94 Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
95
96 (% class="border slim " %)
97 |Typ 1 Umkehroperationen|Typ 2 Ausklammern|Typ 3 Substitution
98 |{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
99 |{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2x}+x^e+1 = 0{{/formula}}
100 |{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
101 |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
102 {{/aufgabe}}
103
104 Nenne eine passende Gleichung. Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich {{formula}} \ldots {{/formula}}
105 (% class="abc" %)
106 1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
107 1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
108 1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
109 {{/aufgabe}}
110
111
112 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
113 Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
114 (% class="abc" %)
115 1. {{formula}} 4\cdot 0,5^x=100 {{/formula}}
116 1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
117 1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
118 1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
119 1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
120 {{/aufgabe}}
121
122 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Nullproduktsatz)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
123 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
124 (% class="abc" %)
125 1. {{formula}} 2x=x^{2} {{/formula}}
126 1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
127 1. {{formula}} 2e^x=e^{2x} {{/formula}}
128 {{/aufgabe}}
129
130 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
131 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
132 (% class="abc" %)
133 1. {{formula}} 2x-3=x^{2} {{/formula}}
134 1. {{formula}} 2x^e-3=x^{2e} {{/formula}}
135 1. {{formula}} 2e^x-3=e^{2x} {{/formula}}
136 1. {{formula}} 2e^{x-3}=e^{2x-3} {{/formula}}
137 {{/aufgabe}}
138
139 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
140 Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen
141 (% class="abc" %)
142 1. {{formula}} 3^{x+1}=81 {{/formula}}
143 1. {{formula}} 5^{2x}=25^{2x+2} {{/formula}}
144 1. {{formula}} 10^{x}=500{{/formula}}
145 1. {{formula}} 2^{x+3}=4^{x-1} {{/formula}}
146 {{/aufgabe}}
147
148 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen graphisch" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
149 Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.
150 (% class="abc" %)
151 1. {{formula}} 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
152 1. {{formula}} 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
153 1. {{formula}} 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 {{/formula}}
154 1. {{formula}} 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x {{/formula}}
155
156 [[image:ExpGlei.svg||width="600px"]]
157 {{/aufgabe}}
158
159 {{seitenreflexion/}}