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Version 111.3 von Martina Wagner am 2025/02/26 15:20
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
5 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
6 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
7 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
9
10 Aufgaben:
11 – Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
12 Lösen von Exponentialgleichungen:
13 – Vokabelheft für Umkehroperationen
14 – Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten
15 – Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten
16 – Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten
17 - Näherungslösungen
18
19 Gleichungen:
20 x+y = e --> y = e - x
21 x*y = e --> y = e / x
22 e^y = x --> y = ln(x)
23
24 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
25 Nenne eine passende Gleichung. Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich {{formula}} \ldots {{/formula}}
26 (% class="abc" %)
27 1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
28 1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
29 1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
30 {{/aufgabe}}
31
32 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="I" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
33 Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
34 {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
35 {{/aufgabe}}
36
37 {{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
38 Ordne zu!
39 (% class="border slim " %)
40 |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
41 |{{formula}} x^3 = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((
42 |x|0|1|2|3
43 |y|1|2|4|8
44 )))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
45 |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
46 |x|0|1|2|3
47 |y|0|1|8|27
48 )))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
49
50 (% class="abc" %)
51 1. (((Gleichungen (implizite und explizite):
52 1. {{formula}} x^3 = 8 {{/formula}}
53 1. {{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}
54 1. {{formula}} x = \sqrt[3]{8=} {{/formula}}
55 1. {{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}}
56 )))
57 1. Wertetabellen:
58 (((
59 |x|0|1|2|3
60 |y|0|1|8|27
61 )))
62
63 (((
64 |x|0|1|2|3
65 |y|0|1|8|27
66 )))
67 1. zwei Graphen
68 [[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
69 [[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
70 {{/aufgabe}}
71
72 {{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
73 Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
74
75 [[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
76
77 (% class="abc" %)
78 1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
79 1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
80 1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
81 1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
82 1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
83 1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
84 1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
85 1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
86 1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
87 {{/aufgabe}}
88
89 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
90 (% class="abc" %)
91 Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} 2^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
92 {{/aufgabe}}
93
94 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen Lösbarkeit (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
95 (% class="abc" %)
96 Gegeben sind die beiden Gleichungen {{formula}} x^2 = a {{/formula}} und {{formula}} 2^x = a {{/formula}} für {{formula}} a \in \mathbb{R} {{/formula}}. Untersuche ihre Lösbarkeit in Abhängigkeit von {{formula}} a {{/formula}}.
97 {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:. {{/formula}}
98 {{/aufgabe}}
99
100
101 {{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
102 Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
103
104 (% class="border slim " %)
105 |Typ 1 Umkehroperationen|Typ 2 Ausklammern|Typ 3 Substitution
106 |{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
107 |{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2x}+x^e+1 = 0{{/formula}}
108 |{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
109 |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
110 {{/aufgabe}}
111
112 Nenne eine passende Gleichung. Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich {{formula}} \ldots {{/formula}}
113 (% class="abc" %)
114 1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
115 1. {{formula}} \ldots {{/formula}} von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
116 1. {{formula}} \ldots {{/formula}} die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
117 {{/aufgabe}}
118
119
120 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
121 Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
122 (% class="abc" %)
123 1. {{formula}} 4\cdot 0,5^x=100 {{/formula}}
124 1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
125 1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
126 1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
127 1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
128 {{/aufgabe}}
129
130 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Nullproduktsatz)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
131 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
132 (% class="abc" %)
133 1. {{formula}} 2x=x^{2} {{/formula}}
134 1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
135 1. {{formula}} 2e^x=e^{2x} {{/formula}}
136 {{/aufgabe}}
137
138 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
139 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
140 (% class="abc" %)
141 1. {{formula}} 2x-3=x^{2} {{/formula}}
142 1. {{formula}} 2x^e-3=x^{2e} {{/formula}}
143 1. {{formula}} 2e^x-3=e^{2x} {{/formula}}
144 1. {{formula}} 2e^{x-3}=e^{2x-3} {{/formula}}
145 {{/aufgabe}}
146
147 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
148 Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen
149 (% class="abc" %)
150 1. {{formula}} 3^{x+1}=81 {{/formula}}
151 1. {{formula}} 5^{2x}=25^{2x+2} {{/formula}}
152 1. {{formula}} 10^{x}=500{{/formula}}
153 1. {{formula}} 2^{x+3}=4^{x-1} {{/formula}}
154 {{/aufgabe}}
155
156 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen graphisch" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
157 Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.
158 (% class="abc" %)
159 1. {{formula}} 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
160 1. {{formula}} 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
161 1. {{formula}} 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 {{/formula}}
162 1. {{formula}} 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x {{/formula}}
163
164 [[image:ExpGlei.svg||width="600px"]]
165 {{/aufgabe}}
166
167 {{seitenreflexion/}}