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Version 130.3 von Kim Fujan am 2025/05/20 09:31
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
5 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
6 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
7 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
9
10 {{lehrende}}
11 Aufgaben:
12 – Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
13 Lösen von Exponentialgleichungen:
14 – Vokabelheft für Umkehroperationen
15 – Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten
16 – Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten
17 – Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten
18 - Näherungslösungen
19
20 Gleichungen:
21 {{formula}}x\pm y = e \Rightarrow y = e \mp x{{/formula}}
22 {{formula}}x*y = e \Rightarrow y = e / x{{/formula}}
23 {{formula}}e^y = x \Rightarrow y = \ln(x){{/formula}}
24 {{/lehrende}}
25
26 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
27 Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
28 (% class="abc" %)
29 1. {{formula}} 4\cdot 0,5^x=100 {{/formula}}
30 1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
31 1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
32 1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
33 1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
34 {{/aufgabe}}
35
36 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
37 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
38 (% class="abc" %)
39 1. {{formula}} 2x=x^{2} {{/formula}}
40 1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
41 1. {{formula}} 2e^x=e^{2x} {{/formula}}
42 {{/aufgabe}}
43
44 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
45 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
46 (% class="abc" %)
47 1. {{formula}} 2x-3=x^{2} {{/formula}}
48 1. {{formula}} 2x^e-3=x^{2e} {{/formula}}
49 1. {{formula}} 2e^x-3=e^{2x} {{/formula}}
50 1. {{formula}} 2e^{x-3}=e^{2x-3} {{/formula}}
51 {{/aufgabe}}
52
53 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
54 Nenne jeweils eine passende Gleichung:
55
56 Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich …
57 (% class="abc" %)
58 1. … die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
59 1. … von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
60 1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
61 {{/aufgabe}}
62
63 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="I" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
64 Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
65 {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
66 {{/aufgabe}}
67
68 {{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
69 Ordne zu:
70 (% class="border slim" %)
71 |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
72 |{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \sqrt[3]{8} {{/formula}}|(((
73 |x|0|1|2|3
74 |y|1|2|4|8
75 )))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
76 |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
77 |x|0|1|2|3
78 |y|0|1|8|27
79 )))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
80 |{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
81 |x|0|1|2|3
82 |y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
83 )))|[[image:x^3und8.svg||width="200px"]]
84 |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}} |(((
85 |x|0|1|2|3
86 |y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
87 )))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]
88 {{/aufgabe}}
89
90 {{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
91 Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
92
93 [[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
94
95 (% class="abc" %)
96 1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
97 1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
98 1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
99 1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
100 1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
101 1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
102 1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
103 1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
104 1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
105 {{/aufgabe}}
106
107 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
108 (% class="abc" %)
109 Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} 2^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
110 {{/aufgabe}}
111
112 {{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
113 Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.
114 (%class="abc"%)
115 1. (((
116 (%class="border slim"%)
117 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}
118
119 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
120 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-4x^e+3=0{{/formula}}
121
122 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
123 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}
124
125 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
126 ⬋
127 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-4u+3=0{{/formula}}
128 (((
129 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
130 |
131
132
133 )))
134
135 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
136 |(%align="center"%)(((⬋
137 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
138 (((
139 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
140 |
141
142
143 )))
144 )))|(%align="center"%)(((🠗
145 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
146 (((
147 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
148 |
149
150
151 )))
152 )))|(%align="center"%)(((⬊
153 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
154 (((
155 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
156 |
157
158
159 )))
160 )))
161 )))
162 1. (((
163 (%class="border slim"%)
164 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-3x^{-1}=0{{/formula}}
165
166 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
167 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-3x^e=0{{/formula}}
168
169 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
170 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-3e^x=0{{/formula}}
171
172 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
173 ⬋
174 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-3u=0{{/formula}}
175 (((
176 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
177 |
178
179
180 )))
181
182 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
183 |(%align="center"%)(((⬋
184 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
185 (((
186 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
187 |
188
189
190 )))
191 )))|(%align="center"%)(((🠗
192 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
193 (((
194 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
195 |
196
197
198 )))
199 )))|(%align="center"%)(((⬊
200 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
201 (((
202 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
203 |
204
205
206 )))
207 )))
208 )))
209 1. (((
210 (%class="border slim"%)
211 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-2x^{-1}+3=0{{/formula}}
212
213 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
214 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-2x^e+3=0{{/formula}}
215
216 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
217 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-2e^x+3=0{{/formula}}
218
219 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
220 ⬋
221 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-2u+3=0{{/formula}}
222 (((
223 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
224 |
225
226
227 )))
228
229 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
230 |(%align="center"%)(((⬋
231 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
232 (((
233 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
234 |
235
236
237 )))
238 )))|(%align="center"%)(((🠗
239 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
240 (((
241 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
242 |
243
244
245 )))
246 )))|(%align="center"%)(((⬊
247 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
248 (((
249 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
250 |
251
252
253 )))
254 )))
255 )))
256 {{/aufgabe}}
257
258 {{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
259 Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
260
261 (% class="border slim " %)
262 |Typ 1 (Umkehroperationen)|Typ 2 (Ausklammern)|Typ 3 (Substitution)
263 |{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
264 |{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2e}+x^e+1 = 0{{/formula}}
265 |{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
266 |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
267 {{/aufgabe}}
268
269
270
271 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
272 Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen
273 (% class="abc" %)
274 1. {{formula}} 3^{x+1}=81 {{/formula}}
275 1. {{formula}} 5^{2x}=25^{2x+2} {{/formula}}
276 1. {{formula}} 10^{x}=500{{/formula}}
277 1. {{formula}} 2^{x+3}=4^{x-1} {{/formula}}
278 {{/aufgabe}}
279
280 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen graphisch" afb="II" kompetenzen="K4,K6" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA" zeit="5"}}
281 Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.
282 (% class="abc" %)
283 1. {{formula}} 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
284 1. {{formula}} 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 {{/formula}}
285 1. {{formula}} 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 {{/formula}}
286 1. {{formula}} 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x {{/formula}}
287
288 [[image:ExpGlei.svg||width="600px"]]
289 {{/aufgabe}}
290
291 {{seitenreflexion/}}