BPE 4.5 Logarithmus und Exponentialgleichungen
K5 Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
K5 Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
K1 Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
K5 Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
K4 K6 Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
K4 K6 Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
Aufgaben:
– Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
Lösen von Exponentialgleichungen:
– Vokabelheft für Umkehroperationen
– Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten
– Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten
– Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten
- Näherungslösungen
Gleichungen:
x+y = e > y = e - x> y = e / x
x*y = e
e^y = x > y = ln
1 Exponentialgleichungen lösen (Grund- vs Fehlvorstellungen) (5 min)
Beurteile folgende Aussagen:
- Die Gleichung \( 5^x = 2 \) kann ich nach x auflösen, indem ich durch 5 dividiere. Ich erhalte damit die Lösung \( x = \frac{2}{5} \).
- Die Gleichung \( 5^x = 2 \) kann ich nach x auflösen, indem ich die 5-te Wurzel verwende. Ich erhalte damit die Lösung \( x = \sqrt{5}{2} \).
- Fürs Auflösen nach x benötige ich eine neue Methode bzw. Operation.
| AFB I - K5 | Quelle Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe |
2 Exponentialgleichungen lösen (graphisch vs rechnerisch) (5 min)
Bestimme die Lösung der Gleichung \( 2^x = 5 \) graphisch und rechnerisch.
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3 Darstellungen zuordnen (5 min) 𝕃
Ordne zu!
- vier Gleichungen
- zwei Tabellen
- zwei Graphen
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4 Gleichungsformen besetzen (5 min)
Bilde für \( a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} \) möglichst viele Gleichungen der folgenden Typen:
\( c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:. \)
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5 Logarithmen auswerten (10 min) 𝕋 𝕃
Ordne (ohne WTR) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
- \( \log_{10}(10) \)
- \( \log_{100}(10) \)
- \( \log_{11}(10) \)
- \( \log_{10}(1000) \)
- \( \log_{10}(5) \)
- \( \log_{11}(1000) \)
- \( \log_{10}(1) \)
- \( \log_{100}(10) \)
- \( \log_{10}(10) \)
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6 Exponentialgleichungen (Logarithmieren) (10 min) 𝕃
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen:
- \( 4\cdot 0,5^x=100 \)
- \( e^x=3 \)
- \( 2e^x-4=8 \)
- \( 2e^{-0.5x}=6\)
- \( e^x=-5 \)
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7 Exponentialgleichungen (Ausklammern, SVNP) (5 min)
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen:
- \( 2e^x=e^{2x} \)
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8 Exponentialgleichungen (Substitution) (5 min) 𝕃
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen:
- \( 2e^x-3=e^{2x} \)
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9 Exponentialgleichungen (5 min)
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen
- \( 3^{x+1}=81 \)
- \( 5^{2x}=25^{2x+2} \)
- \( 10^{x}=500\)
- \( 2^{x+3}=4^{x-1} \)
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10 Exponentialgleichungen graphisch (5 min)
Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.
a) \( 2^x=(\frac{3}{4})^x+2 \)
b) \( 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2 \)
c) \( 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5 \)
d) \( 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x \)
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