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BPE 4.5 Logarithmus und Exponentialgleichungen

Version 65.1 von Martin Rathgeb am 2025/02/25 20:44
Inhalt

K5 Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
K5 Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
K1 Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
K5 Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
K4 K6 Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
K4 K6 Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren

Aufgaben:
– Logarithmus: graphisches Ermitteln vs. Operator
Lösen von Exponentialgleichungen:
– Vokabelheft für Umkehroperationen
– Umkehrung der Rechenoperationen (Logarithmieren!) zzgl. Grundrechenarten
– Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt zzgl. Grundrechenarten
– Substitution (abc-Formel, pq-Formel, Typ I) zzgl. Grundrechenarten
- Näherungslösungen

Gleichungen:
x+y = e > y = e - x
x*y = e > y = e / x
e^y = x > y = lncancel

  1. Beurteile folgende Aussagen:
    1) Die Gleichung 5^x = 2  kann ich nach x auflösen, indem ich durch 5 dividiere. Ich erhalte damit die Lösung x = \frac{2}{5} .
    2) Die Gleichung 5^x = 2  kann ich nach x auflösen, indem ich die 5-te Wurzel verwende. Ich erhalte damit die Lösung x = \sqrt[5]{2} .
    3) Um die Gleichung 5^x = 2  nach x aufzulösen, benötige ich eine neue Methode bzw. Operation.

  2. Umkehraufgabe: Gib für die in a) falsche Methode({n}) eine passende Gleichung an.
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Quelle   Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk TebbeLizenz   CC BY-SA

Bestimme die Lösung der Gleichung 2^x = 5  graphisch und rechnerisch.

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Ordne zu!

  1. vier Gleichungen
  2. zwei Tabellen
  3. zwei Graphen
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Bilde für a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\}  möglichst viele Gleichungen der folgenden Typen:
c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:.

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Ordne (ohne WTR) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.

Logarithmus.svg

  1. \log_{10}(10)
  2. \log_{100}(10)
  3. \log_{11}(10)
  4. \log_{10}(1000)
  5. \log_{10}(5)
  6. \log_{11}(1000)
  7. \log_{10}(1)
  8. \log_{100}(10)
  9. \log_{10}(10)
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Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen:

  1. 4\cdot 0,5^x=100
  2. e^x=3
  3. 2e^x-4=8
  4. 2e^{-0.5x}=6
  5. e^x=-5
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Quelle   Niklas WunderLizenz   CC BY-SA

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen:

  1. 2e^x=e^{2x}
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Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen:

  1. 2e^x-3=e^{2x}
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Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Exponentialgleichungen

  1. 3^{x+1}=81
  2. 5^{2x}=25^{2x+2}
  3. 10^{x}=500
  4. 2^{x+3}=4^{x-1}
AFB   IKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   5 min
Quelle   Niklas WunderLizenz   CC BY-SA

Löse mit Hilfe der nebenstehenden Abbildung folgende Exponentialgleichungen näherungsweise. Hinweis: Ordne die linke und die rechte Seite der jeweiligen Gleichung passend den Funktionsgraphen zu.

a) 2^x=(\frac{3}{4})^x+2
b) 7-e^{x-3}=(\frac{3}{4})^x+2
c) 2^x=1{,}5^{x+2}-0{,}5
d) 7-e^{x-3}=4-\frac{1}{2}\,x

ExpGlei.svg

AFB   IIKompetenzen   K4 K6Bearbeitungszeit   5 min
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Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

K1K2K3K4K5K6
I000060
II000121
III000010
Bearbeitungszeit gesamt: 60 min
Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst