Lösung Exponentialgleichungen (Substitution)

Version 10.1 von Kim Fujan am 2025/05/21 10:46

$x^{2}-2x-3=0$

Lösung mit abc-Formel:
$x_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm 4}{2}$
$x_{1}=3 \quad ; \quad x_{2}=-1$
$e^{2x}-2e^x-3=0$

Substitution:
$u^{2}+2u-3=0$

Lösung mit abc-Formel:
$u_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm 4}{2}$
$u_{1}=3 \quad ; \quad u_{2}=-1$

Resubstitution:
$e^x=3 \quad \Longleftrightarrow \quad x=ln(3)$
$e^x=-1 \quad \Longleftrightarrow \quad$ keine weitere Lösung!
$e^x-2e^{\frac{1}{2}x}-3=0$

Substitution: $e^{\frac{1}{2}x}=u$
$u^{2}+2u-3=0$

Lösung mit abc-Formel:
$u_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{4+12}}{2}=\frac{2\pm 4}{2}$
$u_{1}=3 \quad ; \quad u_{2}=-1$

Resubstitution:
$e^{\frac{1}{2}x}=3 \quad \Longleftrightarrow \quad x=2 \cdot ln(3)$
$e^{\frac{1}{2}x}=-1 \quad \Longleftrightarrow \quad$ keine weitere Lösung!
$e^x-2-\frac{8}{e^x}}=0$
$e^{-x} \cdot (e^{2x}-2e^x-8)=0$

Substitution: $e^{x}=u$
$u^{2}-2u-8=0$

Lösung mit abc-Formel:
$u_{1,2}=\frac{2\pm \sqrt{4+32}}{2}=\frac{2\pm 6}{2}$
$u_{1}=4 \quad ; \quad u_{2}=-2$

Resubstitution:
$e^{x}=4 \quad \Longleftrightarrow \quad x= ln(4)$
$e^{x}=-2 \quad \Longleftrightarrow \quad$ keine weitere Lösung!
$2e^{4x}=e^{2x}+3$
$2e^{4x}-e^{2x}-3=0$

Substitution: $e^{2x}=u$
$2u^{2}-u-3=0$

Lösung mit abc-Formel:
$u_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{1+24}}{2}=\frac{1\pm 5}{2}$
$u_{1}=3 \quad ; \quad u_{2}=-2$

Resubstitution:
$e^{2x}=3 \quad \Longleftrightarrow \quad x=\frac{1}{2} \cdot ln(3)$
$e^{2x}=-2 \quad \Longleftrightarrow \quad$ keine weitere Lösung!