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Version 38.1 von Holger Engels am 2026/02/15 21:38
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Holger Engels 1.1 1 {{seiteninhalt/}}
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3 == Übergreifende Aufgaben ==
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Martina Wagner 22.1 5 {{aufgabe id="Quadrat in Kreis" afb="III" kompetenzen="K2, K4, K5, K6" zeit="15" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
Holger Engels 1.1 6 [[image:QuadratinKreisinQuadrat.PNG||width="200" style="float: right"]]In ein Quadrat ist ein Kreis einbeschrieben. Der Kreis stellt wiederum den Umkreis eines kleineren Quadrates dar.
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8 In welchem Verhältnis stehen die die Flächeninhalte der beiden Quadrate zueinander?
9 {{/aufgabe}}
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Martina Wagner 23.1 11 {{aufgabe id="Unendliche Quadrate" afb="III" kompetenzen="K2, K4, K5, K6" zeit= "20" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
Holger Engels 1.1 12 [[image:unendlicheQuadrate.PNG||width="250" style="float: right"]]
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14 Ein Quadrat wird in immer kleinere Quadrate zerlegt: Das Ausgangsquadrat wird geviertelt. Das Viertelquadrat links unten wird schwarz eingefärbt. Das Quadrat rechts oben wird wieder geviertelt usw.. Auf diese Weise entstehen unendlich viele schwarze Quadrate, die immer kleiner werden.
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16 Wie groß ist der prozentuale Anteil der schwarz gefärbten Fläche am Ausgangsquadrat?
17 {{/aufgabe}}
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Martina Wagner 24.1 19 {{aufgabe id="Blättchen" afb="III" kompetenzen="K2, K4, K5, K6" zeit="10" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
Holger Engels 1.1 20 [[image:Blaettchen.PNG||width="340" style="float: right"]]
21 Mara legt Blättchen nach nebenstehendem Muster. Die ersten drei Muster hat sie schon gelegt.
22 Ab welchem Muster benötigt Mara mehr als 1000 Blättchen? Begründe.
23 {{/aufgabe}}
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Martina Wagner 25.1 25 {{aufgabe id="Quadrat-Spirale" afb="III" kompetenzen="K2, K4, K5, K6" zeit="20"tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
Holger Engels 8.1 26 In der Skizze sind die ersten beiden Windungen einer „Quadrat-Spirale“ dargestellt. Eine Windung beginnt und endet stets im linken unteren Punkt.
Holger Engels 1.1 27
Holger Engels 8.1 28 Welche Windung hat eine Länge von 94 LE?
29 [[image:Quadratspirale.PNG||width="450" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
30 {{/aufgabe}}
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Martina Wagner 27.1 32 {{aufgabe id="Pilot" afb="III" kompetenzen="K2, K4, K5, K6" zeit="30" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
Holger Engels 9.1 33 Ein Pilot fliegt jeden Tag vom Flughafen A zum 100 km entfernten Flughafen B und wieder zurück. Bei Windstille fliegt das Flugzeug mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 85 km/h. Bei einer beispielhaften Windgeschindigkeit von 20 km/h und entsprechender Windrichtung hat der Pilot beim Hinflug Rückenwind und fliegt mit 105 km/h, beim Rückflug jedoch Gegenwind, was zu einer Geschwindigkeit von 65 km/h führt.
Holger Engels 8.1 34
Holger Engels 9.1 35 Annahmen: Windrichtung und Windgeschindigkeit bleiben den ganzen Tag gleich.
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37 Weise nach, ob an jenen Tagen, an denen der Wind weht, eine längere, kürzere oder die gleiche Gesamtflugzeit für Hin- und Rückflug vorliegt.
38 {{/aufgabe}}
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Martina Wagner 31.1 40 {{aufgabe id="Ameise" afb="III" kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc="BY-SA" zeit="45"}}
akukin 16.1 41 Eine Ameise befindet sich an einer Ecke („Start“) einer quaderförmigen Schachtel. An der gegenüberliegenden Ecke („Ziel“) befindet sich ein Stück Zucker. Ermittle die kürzeste Verbindung vom Start zum Ziel auf der Oberfläche der Schachtel.
akukin 18.1 42 [[image:Ameise.PNG||width="600"]]
akukin 16.1 43 {{/aufgabe}}
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Martina Wagner 33.1 45 {{aufgabe id="Gemeinsame Tangenten" afb="III" kompetenzen="K2, K5, K4, K6" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc="BY-SA" zeit="45"}}
Holger Engels 34.1 46 **Aufgabe 1.1**
47 Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
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49 {{formula}} f(x)= x^2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= (x-2)^2 + 4 {{/formula}}.
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51 a) Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
52 b) Verallgemeinere dein Vorgehen, indem du die Verschiebungsparameter 2 und 4 im Funktionsterm von //g// durch {{formula}}u, 𝑣 \in \mathbb{R} {{/formula}} ersetzt: {{formula}}g(x) = (x-u)^2+v {{/formula}}
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54 Gibt es für alle Werte von //u// und //v// eine gemeinsame Tangente mit der Normalparabel //K,,f,,//?
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56 **Aufgabe 1.2**
57 Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
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59 {{formula}} f(x)= x^2 + 2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= -x^2 -2 {{/formula}}.
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61 Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls Gleichungen der gemeinsamen Tangenten an.
62
Holger Engels 10.1 63 {{lehrende}}
Holger Engels 34.1 64 **Variante:** offene Aufgabe für den Unterricht
Holger Engels 10.1 65
66 **Aufgabe 1**
67 Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
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69 {{formula}} f(x)= x^2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= (x-u)^2 + v {{/formula}}.
70
71 Untersuche systematisch die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //u// und //v// ein. Gebe gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
72
73 **Aufgabe 2**
74 Gegeben ist eine weitere Parabel //K,,h,,//mit
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76 {{formula}}h(x)=-x^2 + v{{/formula}}.
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78 Untersuche //K,,f,,// und //K,,h,,// systematisch auf gemeinsame Tangenten. Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //v// ein. Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
79
80 **Aufgabe 3**
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82 Verallgemeinere deine Überlegungen aus Aufgabe 2 auf eine weitere Parabel //K,,j,,// mit
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84 {{formula}}j(x)=-(x-u)^2 + v{{/formula}}.
85
86 Untersuche wiederum //K,,f,,// und //K,,j,,// auf gemeinsame Tangenten. Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //u// und //v// ein. Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
Holger Engels 34.1 87 {{/lehrende}}
akukin 12.1 88
Holger Engels 10.1 89 {{/aufgabe}}
90
Holger Engels 35.1 91 {{aufgabe id="Die Rätsel um Johannes und Wilhelm" afb="III" niveau="p" zeit="30" kompetenzen="K2, K1, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
Holger Engels 20.1 92 Der im Jahr 1919 geborene US-Mathematiker, Logiker, Zauberer und Philosoph Raymond M. Smullyan ist unter anderem für eine Reihe skurriler und lustiger Rätsel bekannt.
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94 In einem aus mehreren Teilen bestehenden Rätsel Smullyians geht es um die beiden Protagonisten Johannes und Wilhelm. Jeder der beiden ist entweder ein Ritter, der selbstredend immer die Wahrheit sagt oder ein Knappe, der immer lügt.
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96 **Teil 1**
97 Johannes sagt: „Wilhelm und ich sind beide Knappen.“
98 Wer von den beiden ist was?
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100 **Teil 2**
101 Johannes sagt: „Wenn Wilhelm ein Knappe ist, so bin ich auch ein Knappe. Wenn Wilhelm ein Ritter ist, so bin ich auch ein Ritter.“
102 Wilhelm sagt: „Wenn Johannes ein Knappe ist, so bin ich ein Ritter. Wenn Johannes ein Ritter ist, so bin ich ein Knappe.“
103 Wer von den beiden ist was?
104
105 **Teil 3**
106 //Dies ist der schwierigste Teil des Puzzles und wurde u. a. bekannt durch den Fantasy-Film „Labyrinth“.//
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108 Johannes und Wilhelm, von denen genau einer ein Ritter ist, stehen an einer gefährlichen Weggabelung, von dem zwei Pfade ausgehen: Der eine Pfad führt in die Freiheit und der andere zum sicheren Tod.
109 Johannes und Wilhelm wissen beide, welcher Pfad zur Freiheit führt.
110 Du als Rätsellöser darfst nun genau einem der beiden genau eine Ja-Nein-Frage stellen, um herauszufinden, welcher Pfad zur Freiheit führt. Welche Frage ist das?
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112 Versuche, alleine oder in einer Gruppe die drei Teile des Rätsels zu lösen und begründe deine Lösungen.
113 {{/aufgabe}}
114
Martina Wagner 32.1 115 {{aufgabe id="Gaußsche Summenformel" afb="II" kompetenzen="K2, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
Holger Engels 20.1 116 Die Summe der ersten //n// natürlichen Zahlen 1 + 2 + 3 + … + //n// kann man mit der
117 sogenannten Gaußschen Summenformel berechnen.
118 [[image:Gaußsche Summenformel.PNG||width="420"]]
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120 Drei Mitschüler legen dir die folgenden Ergebnisse vor.
121 **Schüler 1:** 1 + 2 + 3 + … + n =n(n+1)
122 **Schüler 2:** 1 + 2 + 3 + … + n ={{formula}}\frac{1}{6}{{/formula}} n(n+1)(n+2)
123 **Schüler 3:** 1 + 2 + 3 + … + n ={{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}} n(n+1)
124 Begründe, welcher Schüler die richtige Formel gefunden hat und erkläre, warum
125 die folgende grafische Darstellung bei der Ermittlung der richtigen Summenformel helfen kann.
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127 {{lehrende}}
128 **Variante:** Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit
129 Ermittle diese Formel mit Hilfe der obigen grafischen Darstellung
130 {{/lehrende}}
131 {{/aufgabe}}
132
Holger Engels 1.1 133 == Index verteilte Aufgaben ==
134
135 {{getaggt}}
136 problemlösen
137 {{/getaggt}}
138
Holger Engels 36.1 139 {{seitenreflexion anforderungsbereiche="5" kompetenzen="5" bildungsplan="5" kriterien="5" menge="5"/}}