BPE 5 Übergreifende Problemlöseaufgaben

Aufgabe 1  Quadrat in Kreis 𝕃

In ein Quadrat ist ein Kreis einbeschrieben. Der Kreis stellt wiederum den Umkreis eines kleineren Quadrates dar.

In welchem Verhältnis stehen die die Flächeninhalte der beiden Quadrate zueinander?

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Aufgabe 2  Unendliche Quadrate 𝕃

Ein Quadrat wird in immer kleinere Quadrate zerlegt: Das Ausgangsquadrat wird geviertelt. Das Viertelquadrat links unten wird schwarz eingefärbt. Das Quadrat rechts oben wird wieder geviertelt usw.. Auf diese Weise entstehen unendlich viele schwarze Quadrate, die immer kleiner werden.

Wie groß ist der prozentuale Anteil der schwarz gefärbten Fläche am Ausgangsquadrat?

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Aufgabe 3  Blättchen 𝕃

Mara legt Blättchen nach nebenstehendem Muster. Die ersten drei Muster hat sie schon gelegt.
Ab welchem Muster benötigt Mara mehr als 1000 Blättchen? Begründe.

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Aufgabe 4  Spinne 𝕃

Eine Spinne befindet sich im Punkt A und möchte auf einer geschlossenen Schachtel nach B krabbeln. Sie kann Flächen queren oder Kanten entlang krabbeln.

Ermittle die Länge des kürzesten Weges.

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Aufgabe 5  Quadrat-Spirale 𝕃

In der Skizze sind die ersten beiden Windungen einer „Quadrat-Spirale“ dargestellt. Eine Windung beginnt und endet stets im linken unteren Punkt.

Welche Windung hat eine Länge von 94 LE?

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Aufgabe 6  Pilot 𝕃

Ein Pilot fliegt jeden Tag vom Flughafen A zum 100 km entfernten Flughafen B und wieder zurück. Bei Windstille fliegt das Flugzeug mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 85 km/h. Bei einer beispielhaften Windgeschindigkeit von 20 km/h und entsprechender Windrichtung hat der Pilot beim Hinflug Rückenwind und fliegt mit 105 km/h, beim Rückflug jedoch Gegenwind, was zu einer Geschwindigkeit von 65 km/h führt.

Annahmen: Windrichtung und Windgeschindigkeit bleiben den ganzen Tag gleich.

Weise nach, ob an jenen Tagen, an denen der Wind weht, eine längere, kürzere oder die gleiche Gesamtflugzeit für Hin- und Rückflug vorliegt.

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Aufgabe 7  Ameise 𝕃

Eine Ameise befindet sich an einer Ecke („Start“) einer quaderförmigen Schachtel. An der gegenüberliegenden Ecke („Ziel“) befindet sich ein Stück Zucker. Ermittle die kürzeste Verbindung vom Start zum Ziel auf der Oberfläche der Schachtel.

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Aufgabe 8  Gemeinsame Tangenten 𝕃

Aufgabe 1.1
Gegeben sind die beiden Parabeln K_f und K_g mit

     und .

a) Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
b) Verallgemeinere dein Vorgehen, indem du die Verschiebungsparameter 2 und 4 im Funktionsterm von g durch  ersetzt:

Gibt es für alle Werte von u und v eine gemeinsame Tangente mit der Normalparabel K_f?

Aufgabe 1.2
Gegeben sind die beiden Parabeln K_f und K_g mit

     und .

Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls Gleichungen der gemeinsamen Tangenten an.

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Aufgabe 9  Die Rätsel um Johannes und Wilhelm (M+)𝕃

Der im Jahr 1919 geborene US-Mathematiker, Logiker, Zauberer und Philosoph Raymond M. Smullyan ist unter anderem für eine Reihe skurriler und lustiger Rätsel bekannt.

In einem aus mehreren Teilen bestehenden Rätsel Smullyians geht es um die beiden Protagonisten Johannes und Wilhelm. Jeder der beiden ist entweder ein Ritter, der selbstredend immer die Wahrheit sagt oder ein Knappe, der immer lügt.

Teil 1
Johannes sagt: „Wilhelm und ich sind beide Knappen.“
Wer von den beiden ist was?

Teil 2
Johannes sagt: „Wenn Wilhelm ein Knappe ist, so bin ich auch ein Knappe. Wenn Wilhelm ein Ritter ist, so bin ich auch ein Ritter.“
Wilhelm sagt: „Wenn Johannes ein Knappe ist, so bin ich ein Ritter. Wenn Johannes ein Ritter ist, so bin ich ein Knappe.“
Wer von den beiden ist was?

Teil 3
Dies ist der schwierigste Teil des Puzzles und wurde u. a. bekannt durch den Fantasy-Film „Labyrinth“.

Johannes und Wilhelm, von denen genau einer ein Ritter ist, stehen an einer gefährlichen Weggabelung, von dem zwei Pfade ausgehen: Der eine Pfad führt in die Freiheit und der andere zum sicheren Tod.
Johannes und Wilhelm wissen beide, welcher Pfad zur Freiheit führt.
Du als Rätsellöser darfst nun genau einem der beiden genau eine Ja-Nein-Frage stellen, um herauszufinden, welcher Pfad zur Freiheit führt. Welche Frage ist das?

Versuche, alleine oder in einer Gruppe die drei Teile des Rätsels zu lösen und begründe deine Lösungen.

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Aufgabe 10  Gaußsche Summenformel 𝕃

Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen 1 + 2 + 3 + … + n kann man mit der
sogenannten Gaußschen Summenformel berechnen.

Drei Mitschüler legen dir die folgenden Ergebnisse vor.
Schüler 1: 1 + 2 + 3 + … + n =n(n+1)
Schüler 2: 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)(n+2)
Schüler 3: 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)
Begründe, welcher Schüler die richtige Formel gefunden hat und erkläre, warum
die folgende grafische Darstellung bei der Ermittlung der richtigen Summenformel helfen kann.

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