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Lösung Gemeinsame Tangenten

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2023/12/10 21:31

Analyse: 
Gegeben: 2 Parabeln, die Normalparabel und eine verschobene Normalparabel mit Scheitel S(2|4), siehe Zeichnung.
Gesucht: Gerade, die sowohl die Normalparabel als auch die verschobene Parabel berührt.

Durchführung: 
Gemeinsametangenten.PNG
Grafisches Ausprobieren: Lineal so an die beiden Parabeln legen, dass es beide berührt.
Ablesen der charakteristischen Werte für die Geradengleichung: b=-1 m=2
Vermutung: Geradengleichung t(x)=2x-1

Überprüfung der Vermutung durch Gleichsetzen mit beiden Parabelgleichungen:

\begin{align} & f(x) = t(x) \\ &\Leftrightarrow x^2 = 2x −1 \\ &\Leftrightarrow x^2-2x+1 = 0 \\ &\Leftrightarrow (x-1)^2=0 \end{align}

doppelte Lösung x = 1 , also Tangente mit Berührpunkt 𝐵1(1|1).

\begin{align} & g(x) = t(x) \\ &\Leftrightarrow (x-2)^2+4 = 2x − 1 \\ &\Leftrightarrow x^2-6x+9 = 0 \\ &\Leftrightarrow (x-3)^2=0 \end{align}

doppelte Lösung x = 3 , also Tangente mit Berührpunkt 𝐵1(3|5).

Reflexion: 

Die gefundene Gerade ist die einzige gemeinsame Tangente. Legt man an die Normalparabel von links nach rechts das Lineal jeweils tangential an, so gibt es nur eine Position des Lineals, wo es auch tangential an der zweiten Parabel anliegt.
Die gefundene Lösung wurde grafisch ermittelt, hat also den Nachteil, dass bei anderer Lage der Parabeln die charakteristischen Werte (b und m) evtl. nicht genau abgelesen werden können. In diesem Fall wäre eine rechnerische Lösung hilfreich.

Deshalb zweiter Durchlauf  des Problemlöseprozesses.

Analyse: 
Die Gleichung der Tangente muss anhand der beiden Parabelgleichungen bestimmt werden.

Durchführung: 
Betrachtet man die Lage des Lineals bei Berührung beider Parabeln, so fällt auf, dass es parallel zur Verbindungslinie der beiden Scheitel liegt.

Vermutung:
Die Tangente hat dieselbe Steigung wie die Verbindungsgerade der beiden Scheitel S1(0|0) und S2(2|4).

Überprüfung: m = \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{4-0}{2-0} = 2, d.h. die Vermutung stimmt.
Die gesuchte Tangente ist also eine Gerade mit Steigung 2, die die Normalparabel berührt. Gleichsetzen der Geradengleichung t(x)=2x+b  mit x^2 muss also eine doppelte Lösung ergeben, d.h. die zugehörige Diskriminante muss null sein:
\begin{align} & f(x) = t(x) \\ &\Leftrightarrow x^2 = 2x+b \\ &\Leftrightarrow x^2-2x-b = 0 \end{align}
Diskriminante D = 1 + b = 0 , d.h. b = −1 und damit t(x) = 2x-1  wie bei der grafischen Lösung.

Reflexion: 
Beide charakteristischen Größen wurden rechnerisch aus den Parabelgleichungen ermittelt: Die Steigung m als Steigung der Geraden durch die beiden Scheitel und b über die Diskriminantenbedingung D = 0. Dies lässt sich für jede beliebige Lage der beiden Scheitel durchführen.

Evtl. noch ein Beispiel mit einer anderen Parabel durchrechnen und verifizieren.