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Wiki-Quellcode von Lösung Gemeinsame Tangenten

Version 9.1 von akukin am 2023/11/22 22:07
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1 //Analyse: //
2 Gegeben: 2 Parabeln, die Normalparabel und eine verschobene Normalparabel mit Scheitel S(2|4), siehe Zeichnung.
3 Gesucht: Gerade, die sowohl die Normalparabel als auch die verschobene Parabel berührt.
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5
6
7 //Durchführung: //
8 [[image:Gemeinsametangenten.PNG||width="320" style="float: right"]]
9 Grafisches Ausprobieren: Lineal so an die beiden Parabeln legen, dass sie beide berührt.
10 Ablesen der charakteristischen Werte für die Geradengleichung: {{formula}}b=-1{{/formula}} {{formula}}m=2{{/formula}}
11 Vermutung: Geradengleichung {{formula}}t(x)=2x-1{{/formula}}
12
13 Überprüfung der Vermutung durch Gleichsetzen mit beiden Parabelgleichungen:
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15 {{formula}}
16 \begin{align}
17 & f(x) = t(x) \\
18 &\Leftrightarrow x^2 = 2x −1 \\
19 &\Leftrightarrow x^2-2x+1 = 0 \\
20 &\Leftrightarrow (x-1)^2=0
21 \end{align}
22 {{/formula}}
23
24 doppelte Lösung {{formula}} x = 1 {{/formula}}, also Tangente mit Berührpunkt 𝐵,,1,,(1|1).
25
26 {{formula}}
27 \begin{align}
28 & g(x) = t(x) \\
29 &\Leftrightarrow (x-2)^2+4 = 2x − 1 \\
30 &\Leftrightarrow x^2-6x+9 = 0 \\
31 &\Leftrightarrow (x-3)^2=0
32 \end{align}
33 {{/formula}}
34
35 doppelte Lösung {{formula}} x = 3 {{/formula}}, also Tangente mit Berührpunkt 𝐵,,1,,(3|5).
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37 //Reflexion: //
38 Die gefundene Gerade ist die einzige gemeinsame Tangente. Legt man an die Normalparabel von
39 links nach rechts das Lineal jeweils tangential an, so gibt es nur eine Position des Lineals, wo es auch
40 tangential an der zweiten Parabel anliegt.
41 Die gefundene Lösung wurde grafisch ermittelt, hat also den Nachteil, dass bei anderer Lage der
42 Parabeln die charakteristischen Werte (b und m) evtl. nicht genau abgelesen werden können. In
43 diesem Fall wäre eine rechnerische Lösung hilfreich.
44
45 Deshalb **zweiter Durchlauf ** des Problemlöseprozesses.
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47 //Analyse: //
48 Die Gleichung der Tangente muss anhand der beiden Parabelgleichungen bestimmt werden.
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50 //Durchführung: //
51 Betrachtet man die Lage des Lineals bei Berührung beider Parabeln, so fällt auf, dass es parallel zur Verbindungslinie der beiden Scheitel liegt.
52
53 Vermutung:
54 Die Tangente hat dieselbe Steigung wie die Verbindungsgerade der beiden Scheitel S,,1,,(0|0) und S,,2,,(2|4).
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56 Überprüfung: {{formula}}m = \frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{4-0}{2-0}{{/formula}} d.h. die Vermutung stimmt.
57 Die gesuchte Tangente ist also eine Gerade mit Steigung 2, die die Normalparabel berührt.
58 Gleichsetzen der Geradengleichung {{formula}}t(x)=2x+b {{/formula}} mit {{formula}}x^2{{/formula}} muss also eine doppelte Lösung ergeben, d.h. die zugehörige Diskriminante muss null sein:
59 {{formula}}
60 \begin{align}
61 & f(x) = t(x) \\
62 &\Leftrightarrow x^2 = 2x+b \\
63 &\Leftrightarrow x^2-2x-b = 0
64 \end{align}
65 {{/formula}}
66 Diskriminante 𝐷 = 1 + 𝑏 = 0 , d.h. 𝑏 = −1 und damit{{formula}} t(x) = 2x-1 {{/formula}} wie bei der grafischen Lösung.
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69 //Reflexion: //
70 Beide charakteristischen Größen wurden rechnerisch aus den Parabelgleichungen ermittelt: Die Steigung //m// als Steigung der Geraden durch die beiden Scheitel und b über die Diskriminantenbedingung 𝐷 = 0. Dies lässt sich für jede beliebige Lage der beiden Scheitel durchführen.
71
72 //Evtl. noch ein Beispiel mit einer anderen Parabel durchrechnen und verifizieren.//