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Modellieren und Problemlösen

Version 40.1 von martina am 2023/07/20 11:48
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Contents

Kompetenzen

K3, K2, K5 Ich kann erste Prinzipien beim Modellieren und Problemlösen nutzen
K4 Ich kann eine mathematische Fragestellung erfassen
K1 K4 Ich kann die Wahl eines mathematischen Modells im Sachzusammenhang begründen
K3, K5 Ich kann ein Modell zur Lösung des Problems verwenden
K1, K6 Ich kann Ergebnisse im Kontext der Fragestellung interpretieren
K6 Ich kann meinen Lösungsprozess reflektieren

Hilfsmittel und Strategietraining zum Modellieren und Problemlösen

Problemlösen mit Hilfe der informativen Figur

Information

Bei vielen Aufgabenstellungen hilft es weiter, sich den Sachverhalt durch eine Skizze oder Zeichnung zu veranschaulichen. Diese Veranschaulichung macht es oft leichter das Problem der Aufgabenstellung zu verstehen und geeignete Ansätze zur Lösung zu finden. Dieses Hilfsmittel bezeichnet man als informative Figur.

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Noah stellt folgendes Rätsel: "33,3% der Plätze eines Busses sind von Kindern besetzt. 6 Plätze mehr werden von Erwachsenen eingenommen. 9 Plätze sind frei. Wie viele Sitzplätze hat der Bus?"

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Ein Eisenbahntunnel hat die Form einer Parabel mit 8m Breite und 6m Höhe.
Bestimmen Sie eine quadratische Funktion, deren Schaubild die Form des Eisenbahntunnels beschreibt.

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Problemlösen mit Systematischem Probieren

Information

Es gibt Aufgaben, bei denen durch geschicktes Kombinieren der gegebenen Größen das gesuchte Ergebnis gefunden werden kann oder die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten gesucht ist. Bei solchen Aufgaben kann es zielführend sein, durch systematisches Ausprobieren das gesuchte Ergebnis zu ermitteln. Bei dieser Strategie ist es manchmal auch hilfreich, die verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten mit Hilfe einer Tabelle übersichtlich darzustellen.

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Wie viel Möglichkeiten gibt es, 1 Euro in 5- und 10-Cent Stücke umzuwechseln, wenn dabei jede Münze mindestens einmal benutzt wird. 

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Finde die drei Nullstellen der Funktion f mit f(x)=x^3-1{,}6x^2-5,4x+3{,}6

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Problemlösen mit Hilfe von Vorwärtsarbeiten

Information

Es gibt Aufgaben, bei denen man schnell erkennt, dass man aus den gegebenen Größen weitere Größe berechnen kann. Mit diesen neu berechneten Größen lassen sich dann wieder weitere Größen berechnen bis man alle Größen bestimmt hat, die zur Berechnung der in der Aufgabe gesuchten Größe benötigt werden. Diese schrittweise Berechnung einer gesuchte Größe bzw. Lösung einer Aufgabe wird als vorwärts arbeiten bezeichnet.

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Victoria steht vor einem Wasserhahn und hat zwei Gefäße zur Verfügung. 

a) In das eine Gefäß passen fünf Liter, in das andere drei.
Wie kann Victoria damit genau vier Liter abmessen?

b) In das eine Gefäß passen neun Liter, in das andere vier.
Wie kann Sie damit genau sechs Liter abmessen?

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Gegeben sind die Punkte A(- 4| t); B(4| t) und C(0| 6t). Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und C, die Gerade h durch die Punkt B und C.
Für welchen Wert von t >0 schneiden sich die beiden Geraden senkrecht?

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Problemlösen mit Hilfe von Rückwärtsarbeiten

Information

Bei manchen Aufgaben ist es geschickt, die Lösung einer Aufgabe rückwärts anzugehen, also sich zunächst das Ziel der Aufgabe bzw. die gesuchte Lösung klarzumachen. Von der Lösung ausgehend wird dann überlegt, welche Möglichkeiten es gibt, die gesuchte Größe zu bestimmen und welche Angaben dafür gebraucht werden. Mit Hilfe dieser Strategie arbeitet man sich schrittweise von rückwärts zum richtigen Ansatz bzw. zur Lösung der Aufgabe vor.

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Ergänze die folgenden Gleichungen auf der linken Seite mit beliebigen Rechenoperationen, so dass die Gleichungen korrekt hergestellt sind. Erlaubt sind alle Rechenarten, die du kennst wie Plus, Minus, Wurzel, ………

2    2     2 = 6                    5    5    5 = 6

3    3     3 = 6                    6    6    6 = 6

4    4     4 = 6                    7    7    7 = 6

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Gegeben ist die Lösungsmenge L einer quadratischen Gleichung

a) \mathbb{L} = \lbrace -2; 2 \rbrace
b) \mathbb{L} = \lbrace \rbrace

Finde zu jeder Lösungsmenge mindestens zwei verschiedene Gleichungen, die diese Lösungsmenge haben.

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Problemlösen mit Hilfe des Invarianzprinzips

Information

Es gibt Aufgaben, bei denen es eine Größe gibt, die sich nicht verändert, also immer gleich bleibt. Eine solche Größe nennt man Invariante (Invarianz heißt Unveränderlichkeit). Mit Hilfe der Invariante kann man Aufgaben oft sehr schnell lösen. Hierzu muss die Invariante zuerst in der Aufgabe gefunden werden. Die Frage nach: „Was bleibt bei der Aufgabe immer gleich“, kann helfen die Invariante zu finden. Hat man die diese gefunden, so erkennt man oft das Prinzip zur Lösung der Aufgabe.
Das Invarianzprinzip ist auch aus dem Alltag bekannt. Viele beginnen zum Beispiel ein Puzzle, in dem sie zuerst den Rand des Puzzles machen. Bei allen Randteilen ist gleich, dass eine Seite ganz gerade ist. Hat man den Rand des Puzzles gemacht, so lässt sich des restliche Puzzle leichter fertigstellen

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a) Berechne die Quadratzahlen von 1,5; 2,5: 3,5 und 4,5.
b) Finde eine Regel, wie man die folgenden Quadratzahlen 5,5; 6,5 usw.im Kopf ausrechnen kann, wenn man die vorhergehende Quadratzahl kennt.
c) Gibt es auch eine Regel, wenn man die vorhergehende Quadratzahl nicht kennt.

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Von einer quadratischen Funktion der Form f(x)=a \cdot x^2 kennt man nur die Funktionswerte der folgenden Wertetabelle. Die x-Werte sind aufeinanderfolgende ganze Zahlen. Bestimme den Funktionsterm.

x    
f(x) 18 8 2 0

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