BPE 7 Einheitsübergreifend

Version 50.1 von akukin am 2024/01/30 17:02

Aufgabe 1 Nachweis Dreieck (gAN)

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(1|2|5) , B(2|7|8) und C(-3|2|4) gegeben.

Weise nach, dass und Eckpunkte eines Dreiecks sind.
Für jede reelle Zahl ist ein Punkt $D_a(a|2+a\sqrt{2}|5+\sqrt{2})$ gegeben. Bestimme alle Werte von , für die die Strecke von nach die Länge 2 hat.

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Aufgabe 2 Eckpunkte einer Pyramide (gAN)

In einem kartesischen Koordinatensystem ist die gerade Pyramide ABCDS gegeben. Die Kantenlänge der quadratischen Grundfläche ist 5, die Höhe der Pyramide 7.

Gib mögliche Koordinaten der Eckpunkte der Pyramide an.
Mindestens einer der Eckpunkte soll so verschoben werden, dass sich das Volumen der Pyramide vervierfacht. Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten. Gib für zwei dieser Möglichkeiten jeweils die Koordinaten der verschobenen Eckpunkte an und begründe deine Angabe.

#iqb

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Aufgabe 3 Nachweis Quader (gAN) 𝕃

Die Vektoren $\vec{a}= \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)$ , $\vec{b}= \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$ und $\vec{c_t}= \left(\begin{array}{c} 4t \\ 2t \\ -5t \end{array}\right)$ spannen für jeden Wert von $t \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$ einen Körper auf. Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von .

Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
Bestimme diejenigen Werte von , für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.

#iqb

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Aufgabe 4 Berechnungen am Quader (gAN) 𝕃

Die Abbildung zeigt einen Quader sowie die Ortsvektoren der Eckpunkte A, B und . Die Grundfläche OABC des Quaders ist quadratisch.

Beschreibe die Lage des Punkts, zu dem der Ortsvektor $\frac{1}{2}\cdot (\vec{b}-\vec{a})$ gehört.

Der Punkt hat den Ortsvektor $\frac{1}{2}\vec{b}+ \vec{d}$ .

Zeichne in die Abbildung ein.
Begründe, dass der Wert des Terms $\vec{b} \circ \overline{OP}$ nur von der Seitenlänge der Grundfläche abhängt.

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Aufgabe 5 Vektoren Sechseck (gAN)

Im abgebildeten Sechseck ABCDEF sind jeweils zwei Seiten parallel zueinander.

a) Stelle die Vektoren $\Vec{x}$ und $\Vec{y}$ jeweils mithilfe der Eckpunkte des Sechsecks dar.

b) Stelle den Vektor $\overrightarrow{FB}$ mithilfe der Vektoren $\Vec{a}, \Vec{b}, \Vec{c}, \Vec{d}, \Vec{e}$ und $\Vec{f}$ dar.

c) Der Punkt hat in einem kartesischen Koordinatensystem die Koordinaten x_1 = 6, x_2 = 2 und x_3=-4 Der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ wird mit bezeichnet. Der Punkt K(2|0|8) ist der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AM}$ . Ermittle die Koordinaten von .

#iqb

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Aufgabe 6 Rasenfläche (gAN) 𝕃

Rasenfläche.JPG
Die Punkte A(0|0|0), B(18|0|1,5), C(12|10|1), D(12|15|1) und E(0|15|0) stellen modellhaft die Eckpunkte einer ebenen Rasenfläche dar (vgl. Abbildung). Die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{DE}$ sind parallel.
Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.

Zeige, dass auch $\overline{AE}$ und $\overline{CD}$ parallel sind und dass $\overline{CD}$ und $\overline{DE}$ einen rechten Winkel einschließen.
Ausgehend vom Ansatz $|\overline{AE}| \cdot |\overline{DE}| + \frac{1}{2}\cdot (|\overline{AB}|- |\overline{DE}|)\cdot\bigl(|\overline{AE}|-|\overline{CD}|\bigl)$ kann eine Größe berechnet werden, die im betrachteten Sachzusammenhang eine Rolle spielt. Nenne diese Größe und erläutere den gegebenen Ansatz.

Die Rasenfläche wird von einem Roboter gemäht, der die Form eines flachen Zylinders hat. Zur Beschreibung der Bewegung des Roboters wird der Mittelpunkt seiner kreisförmigen Unterseite betrachtet, die einen Radius von 20 cm hat. Es soll vereinfachend davon ausgegangen werden, dass dieser Mittelpunkt die Rasenfläche berührt. Die Position des Mittelpunkts wird zunächst durch P(3,6|8|0,3) dargestellt (vgl. Abbildung). Die anschließende Bewegung des Mittelpunkts verläuft im Modell entlang der Gerade , die durch verläuft und den Richtungsvektor $\vec{a}= \left(\begin{array}{c} 12 \\ -4 \\ 1 \end{array}\right)$ hat. Dabei bewegt sich der Roboter auf den durch $\overline{BC}$ dargestellten Rand der Rasenfläche zu.

Berechne die Koordinaten des Punkts , in dem die Strecke $\overline{BC}$ schneidet. (zur Kontrolle: )
Weise nach, dass der Winkel, unter dem sich der Roboter dem Rand der Rasenfläche nähert, etwa 41° groß ist.
Der Roboter ändert seine Richtung, sobald der Rand seiner Unterseite den Rand der Rasenfläche erreicht. Der Punkt, der die Position des Mittelpunkts im Moment der Richtungsänderung darstellt, wird mit bezeichnet. Berechne mithilfe einer geeigneten Skizze die Koordinaten von .

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Aufgabe 7 Ähnlichkeit und Strahlensätze (eAN) 𝕃

Die nicht maßstabsgetreue Abbildung zeigt das Quadrat ABCD . Die Gerade , die durch und den Mittelpunkt der Seite $\overline{AD}$ verläuft, hat den Richtungsvektor $\vec{v}$ . Der Punkt ist der Fußpunkt des Lots von auf .

Begründe, dass $|\overline{BF}|=2\cdot |\overline{AF}|$ gilt.
Gib einen Term an, mit dem man die Koordinaten von bestimmen könnte, wenn die Koordinaten von und sowie die Komponenten von $\vec{v}$ bekannt wären.

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Aufgabe 8 Gleichschenkliges Dreieck und Flächeninhalt (eAN) 𝕃

Für $k \in \mathbb{R}$ mit $0<k\leq 6$ werden die Pyramiden ABCD_k mit A(0|0|0), B(4|0|0), C(0|4|0) und D_k(0|0|k) betrachtet (vgl. Abbildung)

Begründe, dass das Dreieck gleichschenklig ist.
Der Mittelpunkt der Strecke $\overline{BC}$ ist .
Begründe, dass $|\overline{MD_k}|=$ $\left| \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ k \end{array}\right)\right|$ die Länge einer Höhe des Dreiecks ist. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks .