Änderungen von Dokument Lösung Flächeninhalte Verhältnis

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Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.akukin
	1	+XWiki.holgerengels

Inhalt

...	...	@@ -1,50 +1,44 @@
1		-{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
	1	+=== Erwartungshorizont ===
2	2	Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}}: {{formula}}\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
3		-<br>
	3	+
4	4	Flächeninhalt des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}}:
5		-<br>
6	6	{{formula}}\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+\left|\overline{CD}\right|\right)\cdot h=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+2\cdot\left|\overline{AB}\right|\right)\cdot h=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
7		-<br>
	6	+
8	8	Das Verhältnis der beiden Flächeninhalte ist 1:3.
9		-<br>
10		-{{/detail}}
11	11
12		-
13		-{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
14		-Da {{formula}}\vec{OD}=\vec{OC}-2\cdot\vec{AB}{{/formula}} gegeben ist, kann der Gegenvektor von {{formula}}\vec{AB}{{/formula}} zweimal an {{formula}}C{{/formula}} angehängt werden, um zu {{formula}}D{{/formula}} zu gelangen:
15		-
	9	+=== Erläuterung der Lösung ===
	10	+Da {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}{{/formula}} gegeben ist, kann der Gegenvektor von {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} zweimal an {{formula}}C{{/formula}} angehängt werden, um zu {{formula}}D{{/formula}} zu gelangen:
	11	+[[image:TrapezErgänzung.PNG||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
16	16	Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC kann (wie bei jedem Dreieck) mit Hilfe der Formel
17	17	{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h{{/formula}}
18		-<br>
19		-(die Hälfte der Länge der Grundseite g mal der Länge der Höhe h) berechnet werden:
20		-<br>
21		-{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\bar{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
	14	+
	15	+(die Hälfte der Länge der Grundseite {{formula}}g{{/formula}} mal der Länge der Höhe {{formula}}h{{/formula}}) berechnet werden:
	16	+
	17	+{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
	18	+
22	22	Für den Flächeninhalt des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}} gilt (wie für jedes Trapez) die Formel
23		-<br>
	20	+
24	24	{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(a+c\right)\cdot h{{/formula}}
25		-<br>
	22	+
26	26	(der Mittelwert aus den Längen der Grundseite und der ihr gegenüberliegenden „Deckseite“ mal der Höhe).
27		-<br>
	24	+
28	28	In unserem Fall:
29		-<br>
30		-{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\bar{AB}\right|+\left|\bar{CD}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
31		-<br>
	26	+{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+\left|\overline{CD}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
	27	+
32	32	Nun wissen wir aber aus der Aufgabenstellung, dass gilt:
33		-<br>
34		-{{formula}}\vec{OD}=\vec{OC}-2\cdot\vec{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \vec{OD}-\ \vec{OC}=-2\cdot\vec{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \vec{CD}=-2\cdot\vec{AB}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \left|\bar{CD}\right|=2\cdot\left|\bar{AB}\right|{{/formula}}
35		-<br>
36		-Also können wir {{formula}}\left|\bar{CD}\right|{{/formula}} in der Gleichung des Trapezes ersetzen durch {{formula}}2\cdot\left|\bar{AB}\right|{{/formula}}:
37		-{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\bar{AB}\right|+2\cdot\left|\bar{AB}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
38		-<br>
	29	+{{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{OD}-\ \overrightarrow{OC}=-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{CD}=-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \left|\overline{CD}\right|=2\cdot\left|\overline{AB}\right|{{/formula}}
	30	+
	31	+Also können wir {{formula}}\left|\overline{CD}\right|{{/formula}} in der Gleichung des Trapezes ersetzen durch {{formula}}2\cdot\left|\overline{AB}\right|{{/formula}}:
	32	+{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+2\cdot\left|\overline{AB}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
	33	+
39	39	Ausmultipliziert und vereinfacht ergibt sich hieraus:
40		-{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\bar{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
41		-<br>
	35	+{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
	36	+
42	42	Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Dreiecksgleichung
43		-<br>
44		-{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\bar{AB}\right|\cdot h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\bar{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
45		-<br>
	38	+
	39	+{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
	40	+
46	46	erkennt man, dass der Flächeninhalt des Trapezes dreimal so groß ist wie der des Dreiecks.
47		-<br>
	42	+
48	48	Das gesuchte Verhältnis des Inhalts der Fläche des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} zum Inhalt der Fläche des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}} ist somit 1:3.
49	49
50		-{{/detail}}

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