Änderungen von Dokument Lösung Flächeninhalte Verhältnis

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  • TrapezErgänzung.PNG

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,51 +1,50 @@
1	1	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
2		-<p>
3	3	Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}}: {{formula}}\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
4		-</p>
	3	+<br>
5	5	Flächeninhalt des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}}:
6		-<p>
	5	+<br>
7	7	{{formula}}\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+\left|\overline{CD}\right|\right)\cdot h=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+2\cdot\left|\overline{AB}\right|\right)\cdot h=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
8		-</p>
	7	+<br>
9	9	Das Verhältnis der beiden Flächeninhalte ist 1:3.
	9	+<br>
10	10	{{/detail}}
11	11
12	12
13	13	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
14		-Da {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}{{/formula}} gegeben ist, kann der Gegenvektor von {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} zweimal an {{formula}}C{{/formula}} angehängt werden, um zu {{formula}}D{{/formula}} zu gelangen:
15		-[[image:TrapezErgänzung.PNG||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
	14	+Da {{formula}}\vec{OD}=\vec{OC}-2\cdot\vec{AB}{{/formula}} gegeben ist, kann der Gegenvektor von {{formula}}\vec{AB}{{/formula}} zweimal an {{formula}}C{{/formula}} angehängt werden, um zu {{formula}}D{{/formula}} zu gelangen:
	15	+
16	16	Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC kann (wie bei jedem Dreieck) mit Hilfe der Formel
17	17	{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h{{/formula}}
18	18	<br>
19	19	(die Hälfte der Länge der Grundseite g mal der Länge der Höhe h) berechnet werden:
20		-<br><p>
21		-{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
22		-</p>
	20	+<br>
	21	+{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\bar{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
23	23	Für den Flächeninhalt des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}} gilt (wie für jedes Trapez) die Formel
24	24	<br>
25	25	{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(a+c\right)\cdot h{{/formula}}
26		-<br><p>
	25	+<br>
27	27	(der Mittelwert aus den Längen der Grundseite und der ihr gegenüberliegenden „Deckseite“ mal der Höhe).
28		-</p>
	27	+<br>
29	29	In unserem Fall:
30		-<br><p>
31		-{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+\left|\overline{CD}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
32		-</p>
	29	+<br>
	30	+{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\bar{AB}\right|+\left|\bar{CD}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
	31	+<br>
33	33	Nun wissen wir aber aus der Aufgabenstellung, dass gilt:
34	34	<br>
35		-{{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{OD}-\ \overrightarrow{OC}=-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{CD}=-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \left|\overline{CD}\right|=2\cdot\left|\overline{AB}\right|{{/formula}}
	34	+{{formula}}\vec{OD}=\vec{OC}-2\cdot\vec{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \vec{OD}-\ \vec{OC}=-2\cdot\vec{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \vec{CD}=-2\cdot\vec{AB}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \left|\bar{CD}\right|=2\cdot\left|\bar{AB}\right|{{/formula}}
36	36	<br>
37		-Also können wir {{formula}}\left|\overline{CD}\right|{{/formula}} in der Gleichung des Trapezes ersetzen durch {{formula}}2\cdot\left|\overline{AB}\right|{{/formula}}:
38		-{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+2\cdot\left|\overline{AB}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
	36	+Also können wir {{formula}}\left|\bar{CD}\right|{{/formula}} in der Gleichung des Trapezes ersetzen durch {{formula}}2\cdot\left|\bar{AB}\right|{{/formula}}:
	37	+{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\bar{AB}\right|+2\cdot\left|\bar{AB}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
39	39	<br>
40	40	Ausmultipliziert und vereinfacht ergibt sich hieraus:
41		-{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
	40	+{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\bar{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
42	42	<br>
43	43	Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Dreiecksgleichung
44	44	<br>
45		-{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
46		-<br><p>
	44	+{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\bar{AB}\right|\cdot h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\bar{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
	45	+<br>
47	47	erkennt man, dass der Flächeninhalt des Trapezes dreimal so groß ist wie der des Dreiecks.
48		-</p>
	47	+<br>
49	49	Das gesuchte Verhältnis des Inhalts der Fläche des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} zum Inhalt der Fläche des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}} ist somit 1:3.
50	50
51	51	{{/detail}}

TrapezErgänzung.PNG

Author

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-XWiki.akukin

Größe

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1		-100.5 KB

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