Änderungen von Dokument Lösung Flächeninhalte Verhältnis

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Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.holgerengels
	1	+XWiki.akukin

Inhalt

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1		-=== Erwartungshorizont ===
	1	+{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
2	2	Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}}: {{formula}}\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
3		-
	3	+<br>
4	4	Flächeninhalt des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}}:
	5	+<br>
5	5	{{formula}}\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+\left|\overline{CD}\right|\right)\cdot h=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+2\cdot\left|\overline{AB}\right|\right)\cdot h=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
6		-
	7	+<br>
7	7	Das Verhältnis der beiden Flächeninhalte ist 1:3.
	9	+<br>
	10	+{{/detail}}
8	8
9		-=== Erläuterung der Lösung ===
10		-Da {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}{{/formula}} gegeben ist, kann der Gegenvektor von {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} zweimal an {{formula}}C{{/formula}} angehängt werden, um zu {{formula}}D{{/formula}} zu gelangen:
11		-[[image:TrapezErgänzung.PNG||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
	12	+
	13	+{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	14	+Da {{formula}}\vec{OD}=\vec{OC}-2\cdot\vec{AB}{{/formula}} gegeben ist, kann der Gegenvektor von {{formula}}\vec{AB}{{/formula}} zweimal an {{formula}}C{{/formula}} angehängt werden, um zu {{formula}}D{{/formula}} zu gelangen:
	15	+
12	12	Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC kann (wie bei jedem Dreieck) mit Hilfe der Formel
13	13	{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h{{/formula}}
14		-
15		-(die Hälfte der Länge der Grundseite {{formula}}g{{/formula}} mal der Länge der Höhe {{formula}}h{{/formula}}) berechnet werden:
16		-
17		-{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
18		-
	18	+<br>
	19	+(die Hälfte der Länge der Grundseite g mal der Länge der Höhe h) berechnet werden:
	20	+<br>
	21	+{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\bar{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
19	19	Für den Flächeninhalt des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}} gilt (wie für jedes Trapez) die Formel
20		-
	23	+<br>
21	21	{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(a+c\right)\cdot h{{/formula}}
22		-
	25	+<br>
23	23	(der Mittelwert aus den Längen der Grundseite und der ihr gegenüberliegenden „Deckseite“ mal der Höhe).
24		-
	27	+<br>
25	25	In unserem Fall:
26		-{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+\left|\overline{CD}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
27		-
	29	+<br>
	30	+{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\bar{AB}\right|+\left|\bar{CD}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
	31	+<br>
28	28	Nun wissen wir aber aus der Aufgabenstellung, dass gilt:
29		-{{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{OD}-\ \overrightarrow{OC}=-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{CD}=-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \left|\overline{CD}\right|=2\cdot\left|\overline{AB}\right|{{/formula}}
30		-
31		-Also können wir {{formula}}\left|\overline{CD}\right|{{/formula}} in der Gleichung des Trapezes ersetzen durch {{formula}}2\cdot\left|\overline{AB}\right|{{/formula}}:
32		-{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+2\cdot\left|\overline{AB}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
33		-
	33	+<br>
	34	+{{formula}}\vec{OD}=\vec{OC}-2\cdot\vec{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \vec{OD}-\ \vec{OC}=-2\cdot\vec{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \vec{CD}=-2\cdot\vec{AB}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \left|\bar{CD}\right|=2\cdot\left|\bar{AB}\right|{{/formula}}
	35	+<br>
	36	+Also können wir {{formula}}\left|\bar{CD}\right|{{/formula}} in der Gleichung des Trapezes ersetzen durch {{formula}}2\cdot\left|\bar{AB}\right|{{/formula}}:
	37	+{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\bar{AB}\right|+2\cdot\left|\bar{AB}\right|\right)\cdot h{{/formula}}
	38	+<br>
34	34	Ausmultipliziert und vereinfacht ergibt sich hieraus:
35		-{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
36		-
	40	+{{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\bar{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
	41	+<br>
37	37	Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Dreiecksgleichung
38		-
39		-{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
40		-
	43	+<br>
	44	+{{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\bar{AB}\right|\cdot h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\bar{AB}\right|\cdot h{{/formula}}
	45	+<br>
41	41	erkennt man, dass der Flächeninhalt des Trapezes dreimal so groß ist wie der des Dreiecks.
42		-
	47	+<br>
43	43	Das gesuchte Verhältnis des Inhalts der Fläche des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} zum Inhalt der Fläche des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}} ist somit 1:3.
44	44
	50	+{{/detail}}

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1		-XWiki.akukin

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