Wiki-Quellcode von Lösung Flächeninhalte Verhältnis
Zuletzt geändert von Holger Engels am 2024/10/21 19:51
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| author | version | line-number | content |
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4.1 | 1 | === Erwartungshorizont === |
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1.1 | 2 | Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}}: {{formula}}\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}} |
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4.1 | 3 | |
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1.1 | 4 | Flächeninhalt des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}}: |
| 5 | {{formula}}\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+\left|\overline{CD}\right|\right)\cdot h=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+2\cdot\left|\overline{AB}\right|\right)\cdot h=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}} | ||
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4.1 | 6 | |
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1.1 | 7 | Das Verhältnis der beiden Flächeninhalte ist 1:3. |
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4.1 | 9 | === Erläuterung der Lösung === |
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3.1 | 10 | Da {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}{{/formula}} gegeben ist, kann der Gegenvektor von {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} zweimal an {{formula}}C{{/formula}} angehängt werden, um zu {{formula}}D{{/formula}} zu gelangen: |
| 11 | [[image:TrapezErgänzung.PNG||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]] | ||
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1.1 | 12 | Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC kann (wie bei jedem Dreieck) mit Hilfe der Formel |
| 13 | {{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h{{/formula}} | ||
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4.1 | 14 | |
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3.2 | 15 | (die Hälfte der Länge der Grundseite {{formula}}g{{/formula}} mal der Länge der Höhe {{formula}}h{{/formula}}) berechnet werden: |
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4.1 | 16 | |
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3.1 | 17 | {{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}} |
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4.1 | 18 | |
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1.1 | 19 | Für den Flächeninhalt des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}} gilt (wie für jedes Trapez) die Formel |
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4.1 | 20 | |
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1.1 | 21 | {{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(a+c\right)\cdot h{{/formula}} |
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4.1 | 22 | |
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1.1 | 23 | (der Mittelwert aus den Längen der Grundseite und der ihr gegenüberliegenden „Deckseite“ mal der Höhe). |
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4.1 | 24 | |
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1.1 | 25 | In unserem Fall: |
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3.1 | 26 | {{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+\left|\overline{CD}\right|\right)\cdot h{{/formula}} |
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4.1 | 27 | |
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1.1 | 28 | Nun wissen wir aber aus der Aufgabenstellung, dass gilt: |
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3.1 | 29 | {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{OD}-\ \overrightarrow{OC}=-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{CD}=-2\cdot\overrightarrow{AB}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \left|\overline{CD}\right|=2\cdot\left|\overline{AB}\right|{{/formula}} |
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4.1 | 30 | |
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3.1 | 31 | Also können wir {{formula}}\left|\overline{CD}\right|{{/formula}} in der Gleichung des Trapezes ersetzen durch {{formula}}2\cdot\left|\overline{AB}\right|{{/formula}}: |
| 32 | {{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot\left(\left|\overline{AB}\right|+2\cdot\left|\overline{AB}\right|\right)\cdot h{{/formula}} | ||
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4.1 | 33 | |
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1.1 | 34 | Ausmultipliziert und vereinfacht ergibt sich hieraus: |
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3.1 | 35 | {{formula}}A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}} |
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4.1 | 36 | |
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1.1 | 37 | Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Dreiecksgleichung |
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4.1 | 38 | |
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3.1 | 39 | {{formula}}A_{\mathrm{Dreieck}}=\frac{1}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A_{\mathrm{Trapez}}=\frac{3}{2}\cdot\left|\overline{AB}\right|\cdot h{{/formula}} |
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4.1 | 40 | |
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1.1 | 41 | erkennt man, dass der Flächeninhalt des Trapezes dreimal so groß ist wie der des Dreiecks. |
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4.1 | 42 | |
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1.1 | 43 | Das gesuchte Verhältnis des Inhalts der Fläche des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} zum Inhalt der Fläche des Trapezes {{formula}}ABCD{{/formula}} ist somit 1:3. |
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