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Lösung Punktbestimmung durch Skalarprodukt

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2024/10/19 20:12
  1. Da A und B die gleiche x-Koordinate und die gleiche y-Koordinate haben, verläuft die Gerade durch A und B parallel zur y-Achse.
  2. Es gilt C(0|c|0) mit c \in \mathbb{R} (weil C auf der y-Achse liegt, sind die x- und z-Koordinate 0).
    Da die Geraden \overrightarrow{CA} und \overrightarrow{CB} senkrecht zu einander stehen sollen, gilt es zu überprüfen, für welche c \in \mathbb{R} deren Skalarprodukt 0 ergibt:

\begin{align} &\overrightarrow{CA} \circ \overrightarrow{CB} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3-c \\ 1 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3-c \\ 1 \end{array}\right) = 2 \cdot 2 +(-3-c) \cdot (3-c)+1 \cdot 1= 4-9+3c-3c+c^2+1 = -4 + c^2 = 0 \\ &\Leftrightarrow c = \pm 2 \end{align}

Somit erhält man zwei Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften erfüllen, nämlich: C_1(0|2|0) und C_2(0|-2|0).