Lösung Punktbestimmung durch Skalarprodukt
Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/14 16:02
- Da \(A\) und \(B\) die gleiche x-Koordinate und die gleiche y-Koordinate haben, verläuft die Gerade durch \(A\) und \(B\) parallel zur y-Achse.
- Es gilt \(C(0|c|0)\) mit \(c \in \mathbb{R}\) (weil \(C\) auf der y-Achse liegt, sind die x- und z-Koordinate 0).
Da die Geraden \(\overrightarrow{CA}\) und \(\overrightarrow{CB}\) senkrecht zu einander stehen sollen, gilt es zu überprüfen, für welche \(c \in \mathbb{R}\) deren Skalarprodukt 0 ergibt:
\[\begin{align*}
&\overrightarrow{CA} \circ \overrightarrow{CB} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3-c \\ 1 \end{array}\right) \circ \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3-c \\ 1 \end{array}\right) = 2 \cdot 2 +(-3-c) \cdot (3-c)+1 \cdot 1= 4-9+3c-3c+c^2+1 = -4 + c^2 = 0 \\
&\Leftrightarrow c = \pm 2
\end{align*}\]
Somit erhält man zwei Punkte, die die beschriebenen Eigenschaften erfüllen, nämlich: \(C_1(0|2|0)\) und \(C_2(0|-2|0)\).