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Aufgabe 1  Algebraische Begriffe  𝕃

Gib an, welche der unten aufgeführten Rechenausdrücke zu folgender Aufgabe passt:
Subtrahiere vom Produkt der Zahlen 12 und 17 die achtfache Differenz der Zahlen 50 und 28.

1. \(12\cdot 17-8 \cdot 50-28\)
2. \((12+17)-8\cdot 50-28\)
3. \(12\cdot 17-8 \cdot (50-28)\)
4. \((12+17)-8-(50-28)\)

Aufgabe 1  Pizza-Party 𝕃

Richard, Jürgen und Hans-Willi organisieren zusammen eine große Party. Sie bestellen bei einem Pizzaservice 18 Pizzen. Nach der Party zählen die drei Freunde, dass 11 Pizzaschachteln leer, 5 noch halb voll und 2 Schachteln ganz voll sind. Da alle auch gerne eine kalte Pizza essen, möchten sie die Pizzaschachteln so untereinander aufteilen, dass jeder gleich viel bekommt. Ermittle, wie viele Pizzaschachteln jeder dann bekommt.

Aufgabe 1  Algebraische Begriffe 2 𝕃

Bestimme einen Rechenausdruck:
Multipliziere die Differenz der Zahlen 31 und 12 mit 20, addiere dazu das Produkt der Zahlen 35 und 7 und subtrahiere vom Ergebnis die Differenz der Zahlen 45 und 20.

Aufgabe 1  Summe gesucht 𝕃

Das Ergebnis einer Addition von Brüchen ist \(\frac{19}{24}\). Bestimme einen Rechenausdruck, wie die Summe zustande gekommen sein kann.

Aufgabe 1  Was gehört zusammen? 𝕃

Ordne die Sachverhalte in der linken Spalte den Termen in der rechten Spalte zu:

Aufgabe 1  Falsche Termumformungen 𝕃

Begründe jeweils anhand eines Zahlenbeispiels, dass folgende Termumformungen falsch sind. Gib, wenn es geht, die richtige Termumformung an.

1. \(a-(b-c)=a-b-c\)
2. \(p\cdot (q\cdot r)= (p\cdot q)\cdot (p\cdot r)\)
3. \((a+b)^2=a^2+b^2\)
4. \(x^2\cdot y^3=(x\cdot y)^5\)
5. \((-a)^2=-a^2\)
6. \(\frac{1}{x+y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
7. \(\sqrt{p^2+q^2}=p+q\)
8. \(\sqrt{x^2}=x\)

Gibt es Zahlenbeispiele, für die die obigen Umformungen zufällig richtig sind?

Aufgabe 1  Zuordnungsaufgabe Ausklammern,Faktorisieren 𝕃

Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.

Aufgabe 1  Zuordnungsaufgabe Binome 𝕃

Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.

Aufgabe 1  Zuordnungsaufgabe Potenzgesetze 𝕃

Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.

Aufgabe 1  Binome ergänzen 𝕃

Trage jeweils ein, welche Werte für die Symbole eingesetzt werden müssen, so dass die Termumformung richtig ist.

Aufgabe 1  Fehlerteufel 𝕃

Tim stellt seinem Nachhilfeschüler Kevin zwei Aufgaben.
Welcher der angegebenen Terme stellt die richtige Umformung dar?
Erläutere bei a), welche Fehler gemacht wurden. 

1. Löse die Klammer auf:
   1. \((5ab)^3\)
   2. \(5a^3b^3\)
   3. \(125a^3b\)
   4. \(125a^3b^3\)
   5. \(15a^3b^3\)
   6. \(5ab^3\)
2. Vereinfache soweit wie möglich:
   1. \(v^6:v^{n-6}\)
   2. \(v^{-n}\)
   3. \(v^{n+12}\)
   4. \(v^{-1+n}\)
   5. \(v^{12-n}\)
   6. \(v^{n-12}\)

Aufgabe 1  Potenzen mit negativen Exponenten 𝕃

Tim überlegt: Wenn \(2^{-1}\) dasselbe ist wie  \(\frac{1}{2}\), dann ist doch \(3^{-2}\) dasselbe wie \(\frac{2}{3}\).
Welches Muster liegt dieser Vorgehensweise zugrunde? Was wäre demnach \(10^{-2}\)?
Hat Tim Recht?

Aufgabe 1  Rechnen mit Potenzen 𝕋  𝕃

1. Fasse zusammen:
   1. \(3a^2 + 5b^3 - 2a^2 + c^2 + 2b^3\)
   2. \(2xy^2 + 8x^2 + y^2x - 2x^2 + xy^2 + 2y^2x\)
   3. \(2(4x)^2 + 2 - 6x^2 - (3x)^2 - 6x - 1\)
2. Wende die Potenzgesetze an:
   1. \(a^2 \cdot a^4 + b \cdot b^5\)
   2. \(-10a^2 + 2a(a+2)\)
   3. \(y^3 \cdot (-x)^3\)
   4. \(\left(\frac{x}{3}\right)^4 \cdot 3^4\)
   5. \(\frac{b^{n+2}}{b^n}\)
   6. \(\frac{(2x)^5}{(2x)^{a+5}}\)
   7. \(\frac{2^3}{\left(\frac{1}{2}\right)^3}\)
   8. \(\frac{(-2x)^4}{(-y)^4}\)
   9. \((-2y)^3\)
   10. \((5a^3b^2)^3\)

Aufgabe 1  Termumformungen 𝕋  𝕃

Löse die Klammern auf und fasse zusammen („vereinfache“):
1.a) \(2(4a - 5) - 3(2a - 3) + 4(-3a + 5)\)
1.b) \(x - (x + 3) - 4(-x + 1)\)

2.a) \(6a - 2(7b - (4a + 3b)) + 2((2a - b) - 7a)\)
2.b) \(2x + 3(4 - (2x + 1) + 3x)\)

Multipliziere aus und vereinfache:
3.a) \((3a + b)(a - 5b)\)
3.b) \((4x - 3)(-x + \frac{1}{3})\)

4.a) \((2x + y)^2\)
4.b) \((x - 3y)^2\)
4.c) \((x^2 - 2)(x^2 + 2)\)
4.d) \((3 - x)^2 - (x + 1)^2 + 2(x - 1)(x + 1)\)

Klammere aus („Faktorisiere“):
5.a) \(12ax^2 - 8ax\)
5.b) \(3x^2 - 12\)
5.c) \(\frac{3ax^2 - 3a}{9x + 9}\)

Aufgabe 1  Richtig oder falsch? 𝕃

Wähle die richtige(n) Aussage(n) aus und begründe deine Entscheidung.

Dividiere 30 durch \(\frac{1}{2}\) und addiere zum Ergebnis 15. Was erhältst du?

☐ 30, weil \(15 + 15 = 30\)
☐ 75, weil \(15 + 60 = 75\)
☐ 22,5, weil \(45 : 2 = 22,5\)
☐ 75, weil \(\frac{1}{2}\) 60mal in die 30 passt und \(60 + 15 = 75\)

Aufgabe 2  Ungleichungen lösen 𝕃

1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50€ pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Personen die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat?
2. Ermittle die Lösung grafisch und rechnerisch \(-2x+3<5\)

Aufgabe 2  Lösen von linearen Gleichungen 𝕃

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.

Aufgabe 2  Richtig oder falsch? 𝕃

Wähle bei jeder Aufgabe die richtige(n) Aussage(n) aus und begründe deine Entscheidung.

\(\frac{x}{y} = \frac{1}{4}\). Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

☐ \(x\) muss 1 sein, weil im Bruch auf der rechten Seite der Gleichung 1 im Zähler steht.
☐ \(y\) ist das Vierfache von \(x\), weil es auf der rechten Seite der Gleichung auch so ist.
☐ \(x\) ist dreimal so groß wie \(y\), weil 4 – 1 = 3.
☐ \(y\) darf auf keinen Fall den Wert Null annehmen.

Aufgabe 3  Umsatzsteigerung 𝕃

Ein Betrieb hatte 2010 einen Umsatz von 325.000 €.
Im Jahr 2011 sank der Umsatz um 18 %.
Für das Jahr 2012 meldet der Betriebsleiter eine Umsatzsteigerung von 25 %.

1. Berechne den Umsatz für das Jahr 2012.
2. Um wie viel Prozent hat sich der Umsatz von 2010 bis 2012 verändert?

Aufgabe 3  Zinsrechnung 𝕃

Peter legt ein Kapital von 4000 € bei der Bank an. Dieses Kapital wird mit 2,5 % verzinst. Die Zinsen werden jährlich mitverzinst.

1. Welcher Betrag steht Peter nach sechs Jahren zur Verfügung?
2. Paul möchte beim gleichen Kapital denselben Endbetrag schon nach vier Jahren ausbezahlt bekommen.
   Welchen Zinssatz muss ihm seine Bank bieten?

Aufgabe 3  Rabatt-Aktion bei Madio-Markt 𝕃

Der Elektronik-Discounter Madio-Markt startet eine Rabatt-Aktion unter dem Motto „Alles 19 % billiger!“. Tatsächlich wird in der Rabatt-Woche alles zum Netto-Preis, also ohne die 19 % Mehrwertsteuer verkauft.
Klara denkt: „Da stimmt doch was nicht. Ich bin doch nicht doof!“

Was meinst du dazu?

Aufgabe 3  Zinsversteuerung 𝕃

Du möchtest ein Kapital von 10.000 € auf 20 Jahre anlegen. Die Bank schlägt dir zwei Anlagevarianten vor:
Anlage A bringt eine jährliche Verzinsung von 8 %. Von diesen Zinsen werden jährlich bei der Gutschrift sofort 25% Steuern abgezogen.
Anlage B bringt ebenfalls eine jährliche Verzinsung von 8 %. 

Die Steuer von 25 % auf die Zinserträge wird jedoch erst am Ende der Anlagezeit abgezogen.

1. Für welche Anlagevariante würdest du dich entscheiden? Überlege zuerst ohne zu rechnen und berechne dann den Unterschied der beiden Varianten.
2. Wie groß wäre der Unterschied, wenn der Betrag als Altersvorsorge auf 50 Jahre angelegt wird?

Aufgabe 3  Zinssätze 𝕃

Bastian legt 10000 € bei der Bank an.
Nach drei Jahren beträgt sein Guthaben 10841,13 €.
Bastian weiß, dass der Zinssatz für das dritte Jahr 4 % betragen hat.
Die Zinssätze für das erste und zweite Jahr kennt er nicht.

1. Wie viel Guthaben hatte Bastian nach dem zweiten Jahr?
2. Wie hoch war der Zinssatz im ersten und im zweiten Jahr, wenn in beiden Jahren der Zinssatz gleich war?
3. Wie hoch waren die Zinssätze im ersten und im zweiten Jahr, wenn der Zinssatz im zweiten Jahr doppelt so hoch war wie im ersten Jahr? 

Aufgabe 3  Richtig oder falsch? 𝕃

Wähle die richtige(n) Aussage(n) aus und begründe deine Entscheidung.

Der Preis für einen Pullover wird erst um 20 % erhöht und anschließend um 20 % gesenkt. Wie verändert sich der ursprüngliche Preis?

□ Der Preis bleibt gleich, da \(100\% + 20\% = 120\%\) und \(120\% - 20\% = 100\%\)
□ Der Preis ist höher, da der Grundwert nach der Preiserhöhung höher ist.
□ Der Preis ist niedriger, da der Grundwert vor der Preiserhöhung niedriger ist.
□ Der Preis ist niedriger, weil der Prozentwert nach der Preiserhöhung höher ist.

Aufgabe 4  Kirschen 𝕃

Auf dem Markt in Rottweil sind Kirschen im Sommer relativ teuer.
Familie Schneider aus Rottweil fährt nach Lahr, um dort Kirschen selbst zu pflücken.
Wann lohnt sich die Fahrt, wenn man von folgenden Randbedingungen ausgeht?

Welche weiteren Überlegungen könnten für oder gegen eine Fahrt nach Lahr sprechen?

Aufgabe 4  Skiurlaub 𝕃

Die beiden Freunde Stefan und Jens wollen gemeinsam in den Skiurlaub fahren. Ihnen liegen zwei Angebote vor:

Die Preise sind jeweils in Landeswährung angegeben. Wechselkurs: Für 1 Euro erhält man 1,20 Schweizer Franken (CHF).

Wie hoch ist die Ersparnis in Euro, wenn sie in die Schweiz fahren?

Aufgabe 5  Weg-Zeit-Diagramm 𝕃

Anna besucht ihre Freundin und läuft anschließend wieder nach Hause.

1. Wie lange braucht Anna um bei ihrer Freundin anzukommen?  ... Minuten
2. Wie weit wohnt ihre Freundin entfernt?    ... Meter
3. Wie lange bleibt sie bei ihrer Freundin?    ... Stunde
4. Wann kommt Anna wieder zu Hause an?    Nach ... Minuten
5. Wie viele Kilometer hat sie insgesamt zurückgelegt?    ... Meter

Aufgabe 5  Weg-Zeit-Diagramme 𝕃

Anna besucht ihre Freundin zu Fuß.

1. Interpretiere das Diagramm.
2. Wie sieht das zugehörige Diagramm aus, wenn Anna mit dem Fahrrad zu ihrer Freundin fährt und dort 1 Stunde bleibt?

Aufgabe 5  Marathon 𝕃

Paul läuft einen Marathon. Sind die Aussagen wahr oder falsch?

1. Paul rennt am Anfang schneller als am Ende.
2. Er läuft 2,5 Stunden.
3. Er macht nach 130 Minuten eine Pause.
4. Er wird mit der Zeit langsamer.
5. Er legt 40 km zurück.

Aufgabe 5  Mietwagenpreise 𝕃

Frau Martin hat sich einen Mietwagen genommen und ist damit 140 Kilometer gefahren. Sie erhält eine Rechnung über 124,00 Euro. Dieser Wert beinhaltet eine Tagespauschale und einen Kilometerpreis. Herr Martin mietet denselben Wagen am nächsten Tag und fährt damit 80 km. Er muss 88 Euro bezahlen. Die Tochter der Familie Martin hatte sich den Wagen auch schon einmal für 180,00 Euro gemietet. Sie fuhr 200 km. Sie ist verärgert, als sie die Rechnungen ihrer Eltern sieht. Zu Recht?

Aufgabe 6  Einkommenssteuer 2010 𝕃

Beträgt das zu versteuernde Jahreseinkommen mehr als 52881€ und weniger als 250731€,  wird die Einkommensteuer (in Euro) berechnet nach der Vorschrift
                   \( 0,42\cdot x - 8172\).
Dabei ist \(x\) das zu versteuernde Einkommen.

1. Wie viel Einkommensteuer bezahlt man, wenn das Einkommen 52882€ beträgt?
2. Wie viel Prozent des Einkommens sind das?
3. Wie viel Steuer muss man mehr zahlen, wenn das Einkommen 100€ höher ist? 
4. Hältst Du diesen „Spitzensteuersatz“ für richtig, für zu hoch oder für zu niedrig?

Aufgabe 6  Wertetafeln 1 𝕃

Prüfe, welche Wertetafel zu einer linearen Funktion gehört.
Zusatz (aus BPE 3.5): Ermittle gegebenenfalls die Gleichung der Geraden.

1. \(x\)	-3	-2	-1	0
   \(y\)	-25	-20	-15	-10

2. \(x\)	-1	0	1	2
   \(y\)	-2	0	2	4

3. \(x\)	-1	0	1	2
   \(y\)	1	2	4	8

Aufgabe 6  Wertetafeln 2 𝕃

Vervollständige die folgenden Wertetafeln, die zu linearen Funktionen gehören:

1. \(x\)	-1	0	1	2	3	4
   \(y\)		3	0	-3

2. \(x\)	2	4	6	8	10	12
   \(y\)	0		0,5

3. \(x\)	1	2	3	4	5	6
   \(y\)	-3,5			-2

Aufgabe 6  Wertetabellen prüfen  𝕃

Stellen folgende Zuordnungen eine lineare Funktion dar?
Zusatz (aus BPE 3.5): Gib – wenn möglich – die Funktionsgleichung an.

1. \(x\)	0	1	2	3	4	5
   \(f(x)\)	1,5	3	4,5	6	7,5	9

2. \(x\)	-2	-1	0	1	2	3
   \(g(x)\)	4,5	2	-0,5	-3	-5,5	-8

3. \(x\)	0	3	4	10	12	13
   \(h(x)\)	2,5	7	8,5	17,5	20,5	22

4. \(x\)	0	2	4	6	8	10
   \(i(x)\)	0	4	16	36	64	100

5. \(x\)	0	1	4	6	8	11
   \(j(x)\)	40	35	20	10	0	-15

6. \(x\)	-2	0	1	3	7	15
   \(k(x)\)	1	0	-0,5	-1,5	-3,5	-7,5

7. \(x\)	-4	-1	1	3	6	7
   \(l(x)\)	69	3	9	55	199	267

Aufgabe 7  Darstellung von Geraden 𝕃

Gegeben sind die Geraden \(g_1\) und \(g_2\):
\(g_1: y=-\frac{1}{2}x+1\)
\(g_2: 2y=x+1\)

Begründe, warum die rechts abgebildete Gerade weder \(g_1\) noch \(g_2\) darstellt.

Aufgabe 7  Achse ergänzen 𝕃

Zeichne die fehlende x-Achse ein und bestimme eine Beschriftung für die Koordinatenachsen mit geeigneten Einheiten so, dass die eingezeichnete Gerade die Gleichung \( y=\frac{1}{3}x+3\) hat.

Aufgabe 7  Achsen ergänzen 𝕃

Im nachfolgenden Gitternetz sind zwei Geraden dargestellt.

1. Eine der beiden Geraden hat die Gleichung \(y=\frac{1}{4}x+1\).
   Zeichne das zugehörige Koordinatensystem ein.
2. Bestimme die Gleichung der zweiten Geraden.

Aufgabe 7  Zeichnen von Geraden 𝕃

Zeichne die Gerade mit der Gleichung \(y=a\cdot(x-2)+3\) für

1. \(a=1\)
2. \(a=-1\)
3. \(a=\frac{1}{2}\)
4. \(a=-\frac{3}{4}\)

Aufgabe 7  Folge ungenauen Zeichnens 𝕃

Achim zeichnet die Gerade mit der Gleichung \(y = 0,8 x + 2\) recht ungenau in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1cm. Den y-Achsenabschnitt hat er noch genau eingezeichnet, bei \(x = 3\) liegt der gezeichnete Punkt schon 0,1 cm zu hoch.
Ermittle, wie groß ist die Abweichung bei \(x = 10\) ist?

Aufgabe 7  Achsen beschriften 𝕃

Bestimme eine Beschriftung für die Koordinatenachsen mit geeigneten Einheiten so, dass die eingezeichnete Gerade die Gleichung \(y=2x+1\) hat.

Aufgabe 7  Zeichnen von Geraden 2 𝕃

Zeichne die Gerade mit der Gleichung \(a\cdot x+2y=5\) für

1. \(a=1\)
2. \(a=-1\)
3. \(a=2\)
4. \(a=0\)

Aufgabe 7  Koordinatensystem zeichnen 𝕃

Zeichne die fehlenden Koordinatenachsen ein und bestimme die Einheiten an den Achsen so, dass die gegebene Gerade bezüglich dieses Koordinatensystems die Gleichung \(y=-x+1\) hat.

Aufgabe 8  Tims Schnittpunktberechnung 𝕃

Tim hat folgende Aufgabe als Hausaufgabe bekommen:
Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden

Tims Lösung sieht folgendermaßen aus:

Ansatz: "Gleichsetzen"

Untersuche die Lösungsschritte und entscheide, ob das Ergebnis richtig
oder falsch ist. Korrigiere falls nötig.

Aufgabe 8  Schnitt von Geraden 𝕃

Klara möchte den Schnittpunkt von zwei Geraden ausrechnen:

Erkläre, was Klara falsch gemacht hat.

Aufgabe 8  Lineare Gleichungen lösen 𝕃

Begründe für jede der folgenden Aufgabenstellungen, ob sie zu der Gleichung \(3x+2=0\) führt.

1. Berechne den Schnittpunkt der Geraden \(g: \ y=3x+2\) mit der x-Achse.
2. Berechne den Schnittpunkt mit der y-Achse der Geraden mit der Gleichung \(y=3x+2\).
3. Berechne den Schnittpunkt der Geraden h mit der Gleichung \(y=3x+2\) und der Geraden g mit \(g: \ y=0\).

Aufgabe 8  Schnittpunkt von Geraden 𝕃

Klara will den Schnittpunkt zweier Geraden berechnen. Nach einigen Umformungsschritten erhält sie

1. die Gleichung  0=3
2. die Gleichung  3=3
   Klara schließt daraus, dass sie sich verrechnet hat. Was sagst du dazu? 

Aufgabe 8  Schnittpunkt von Geraden 2 𝕃

Durch die Gleichungen \(2x+3y=4\) und \(4x-6y=4\) sind zwei Geraden gegeben.
Klara möchte deren Schnittpunkt bestimmen und beginnt zu rechnen: 

Beschreibe die einzelnen Umformungsschritte.
Beurteile, ob Klaras Lösungsweg zum Ziel führt.
Was bedeutet das Ergebnis?

Aufgabe 8  Schnittpunkt von Geraden 2 𝕃

Gegeben sind die Funktionen \(f\) mit \(f(x) = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}\) und \(g\) mit \(g(x) = -3x - 3\).

Prüfe, ob sich das Schaubild von \(f\) und die Orthogonale zum Schaubild von \(g\) durch \(P\left(-3 \left| \frac{28}{3}\right.\right)\) im ersten Quadranten schneiden.

Aufgabe 8  Schnittwinkel von Geraden 𝕃

Gegeben sind die Geraden \(g_1: y=\frac{1}{2}x+2\) und \(g_2: y=3x-3\).

1. Begründe, warum sich die beiden Geraden schneiden.
2. Zeichne die Geraden in ein Koordinatensystem und lies jeweils den Steigungswinkel (Winkel zur positiven x-Achse) ab.
3. Berechne jeweils den Steigungswinkel von \(g_1\) und \(g_2\).
4. Berechne den Schnittwinkel der Geraden \(g_1\) und \(g_2\).
   Messe diesen in deiner Zeichnung nach.

Aufgabe 8  Geradengleichungen bestimmen 𝕃

1. Bestimme die Gleichungen der beiden Geraden.
2. Bestimme die Schnittpunkte der beiden Geraden mit der x-Achse.
3. Gib die Koordinaten des Punktes an, in dem sich die beiden Geraden schneiden.

Aufgabe 9  Aufstellen von Geradengleichungen 𝕃

Bestimme jeweils eine Gleichung der Geraden.

1. Die Gerade \(g\) mit der Steigung \(m = 2\) verläuft durch den Punkt \(P(-1|2)\).
2. Die Gerade \(h\) verläuft durch die Punkte \(A(2|0)\) und \(B(-1|3)\). 
3. Die Gerade \(k\) schneidet die x-Achse in \(x = -3\) und die y-Achse in \(y = 4\).

Aufgabe 9  Der PC-Boom 𝕃

Der PC-Boom
Die Zahl weltweit abgesetzter Computer (in Millionen) nimmt rasant zu:

Weltweit abgesetzte Personal Computer:

1. Bestimme einen linearen Funktionsterm, der diese Entwicklung annähernd beschreibt.
2. Triff auf Grund deines Ergebnisses aus a) eine Prognose für die Anzahl der weltweit abgesetzten Computer im Jahr 2013.

Aufgabe 10  Marathon 𝕃

Paul läuft einen Marathon. Sind die Aussagen wahr oder falsch?

1. Paul rennt am Anfang schneller als am Ende.
2. Er läuft 2,5 Stunden.
3. Er macht nach 130 Minuten eine Pause.
4. Er wird mit der Zeit langsamer.
5. Er legt 40 km zurück.

Aufgabe 10  Zuordnungsaufgabe Funktionsterm und Schaubild 𝕃

Ordne den Schaubildern zu:
a) \(y=-\frac{3}{4}x+2\)    b) \(y=\frac{1}{3}x\)   c) \(y=-\frac{4}{3}x+2\)    d) \(y=3x\)

1)	2)
3)	4)

Aufgabe 10  Geradengleichungen bestimmen 𝕃

1. Bestimme die Gleichungen der beiden Geraden.
2. Bestimme die Schnittpunkte der beiden Geraden mit der x-Achse.
3. Gib die Koordinaten des Punktes an, in dem sich die beiden Geraden schneiden.

Aufgabe 10  Einkommenssteuer 2010 𝕃

Beträgt das zu versteuernde Jahreseinkommen mehr als 52881€ und weniger als 250731€,  wird die Einkommensteuer (in Euro) berechnet nach der Vorschrift
                   \( 0,42\cdot x – 8172\).
Dabei ist \(x\) das zu versteuernde Einkommen.

1. Wie viel Einkommensteuer bezahlt man, wenn das Einkommen 52882€ beträgt?
2. Wie viel Prozent des Einkommens sind das?
3. Wie viel Steuer muss man mehr zahlen, wenn das Einkommen 100€ höher ist? 
4. Hältst Du diesen „Spitzensteuersatz“ für richtig, für zu hoch oder für zu niedrig?

Aufgabe 10  Geradenbüschel 𝕃

Im obigen Koordinatensystem sind verschiedene Geraden eingezeichnet.

1. Nenne eine Gemeinsamkeit aller dieser Geraden.
2. Gib zu drei dieser Geraden die zugehörige Gleichung an.
3. Wie lautet die Gleichung der Parallelen zur x-Achse bzw. zur y-Achse in diesem Bündel?
4. Welche der beiden Gleichungen aus c) beschreibt keine Funktion? Begründe.

Aufgabe 10  Wertetafeln 1 𝕃

Prüfe, welche Wertetafel zu einer linearen Funktion gehört.
Zusatz (aus BPE 3.5): Ermittle gegebenenfalls die Gleichung der Geraden.

1. \(x\)	-3	-2	-1	0
   \(y\)	-25	-20	-15	-10

2. \(x\)	-1	0	1	2
   \(y\)	-2	0	2	4

3. \(x\)	-1	0	1	2
   \(y\)	1	2	4	8

Aufgabe 10  Wertetafeln 2 𝕃

Vervollständige die folgenden Wertetafeln, die zu linearen Funktionen gehören:

1. \(x\)	-1	0	1	2	3	4
   \(y\)		3	0	-3

2. \(x\)	2	4	6	8	10	12
   \(y\)	0		0,5

3. \(x\)	1	2	3	4	5	6
   \(y\)	-3,5			-2

Aufgabe 10  Wertetabellen prüfen  𝕃

Stellen folgende Zuordnungen eine lineare Funktion dar?
Zusatz (aus BPE 3.5): Gib – wenn möglich – die Funktionsgleichung an.

1. \(x\)	0	1	2	3	4	5
   \(f(x)\)	1,5	3	4,5	6	7,5	9

2. \(x\)	-2	-1	0	1	2	3
   \(g(x)\)	4,5	2	-0,5	-3	-5,5	-8

3. \(x\)	0	3	4	10	12	13
   \(h(x)\)	2,5	7	8,5	17,5	20,5	22

4. \(x\)	0	2	4	6	8	10
   \(i(x)\)	0	4	16	36	64	100

5. \(x\)	0	1	4	6	8	11
   \(j(x)\)	40	35	20	10	0	-15

6. \(x\)	-2	0	1	3	7	15
   \(k(x)\)	1	0	-0,5	-1,5	-3,5	-7,5

7. \(x\)	-4	-1	1	3	6	7
   \(l(x)\)	69	3	9	55	199	267

Aufgabe 10  Handykosten 𝕃

Ein Handynetzbetreiber wirbt für folgenden Handytarif

a) Überprüfe, welche der nachfolgenden Wertetabellen diesen Tarif beschreibt.  

Tabelle 1  

Tabelle 2  

Tabelle 3  

Richtig ist Tabelle         .

Ein Konkurrent wirbt hingegen für folgenden Tarif  

b) Erstelle eine Wertetabelle für die ersten 10 Gesprächsminuten dieses Handytarifs.  
c) Zeichne ein Schaubild, das die Kosten in Cent in Abhängigkeit von den telefonierten Minuten darstellt.  

Aufgabe 10  Paddelboottour 𝕃

Lisa und ihre Eltern möchten im Spreewald eine Paddelboottour machen.
Sie stehen folgender Informationstafel gegenüber:

Angebot 1
Leihgebühr 7,00 € + jede Minute 0,10 €

Angebot 2
Keine Leihgebühr, jede Minute kostet 0,30 €

Angebot 3
Pauschalpreis für 90 Minuten 15,00 €.
Jede darüber hinausgehende Minute kostet 0,50 €.

1. Ordne die Schaubilder den Angeboten zu.
2. Welches Angebot soll die Familie nutzen, wenn die Familienmitglieder 30 Minuten fahren möchten und sie möglichst wenig dafür ausgeben möchten? Begründe.
3. Der Vater ist bereit, 25,00 € für die Paddelboottour auszugeben. Welches Angebot wählt die Familie, wenn sie möglichst lange fahren möchte? Wie lange können sie bei diesem Angebot fahren?
4. Gibt es eine Fahrtdauer bei der es egal ist, welches Angebot gewählt wird? Begründe.

Aufgabe 10  Handytarife Schaubildern zuordnen 𝕃

a) Ordne den folgenden Tarifen je ein Schaubild zu

b) Gib die Geradengleichungen zu den einzelnen Handytarifen an.

Aufgabe 10  Akkuentladung 𝕃

Kevin hat ein Handy mit einem Akku, der im Ruhezustand erst nach 14 Tagen leer ist. Wenn der Akku voll geladen ist, enthält er 200 mAh elektrische Ladung.

1. Stelle die Entladung des Akkus in 14 Tagen in einem Schaubild dar.
2. Wie viel Ladung enthält der Akku nach 9 Tagen.
3. Nach wie vielen Tagen sind 80 Prozent der Ladung weg?

Aufgabe 10  Mietwagenpreise 𝕃

Frau Martin hat sich einen Mietwagen genommen und ist damit 140 Kilometer gefahren. Sie erhält eine Rechnung über 124,00 Euro. Dieser Wert beinhaltet eine Tagespauschale und einen Kilometerpreis. Herr Martin mietet denselben Wagen am nächsten Tag und fährt damit 80 km, Er muss 88 Euro bezahlen. Die Tochter der Familie Martin hatte sich den Wagen auch schon einmal für 180,00 Euro gemietet. Sie fuhr 200 km. Sie ist verärgert, als sie die Rechnungen ihrer Eltern sieht. Zu Recht?

Aufgabe 10  Richtig-Falsch-Aufgabe zu Schaubildern linearer Funktionen 𝕃

Kreuze jeweils an, ob die Aussage richtig oder falsch ist.
Stelle die falschen Aussagen richtig!

1. Gerade a hat die Steigung \(\frac{1}{3}\).
   ☐ richtig       ☐ falsch
2. Der y-Achsenabschnitt der Geraden c beträgt 3,5.
   ☐ richtig       ☐ falsch   
3. Die Gerade b hat die Steigung 1.
   ☐ richtig       ☐ falsch   
4. Die Geraden a und b schneiden sich im Punkt \(S\left(-\frac{33}{8}\Bigl|\frac{17}{8}\right)\)
   ☐ richtig       ☐ falsch
5. Die Geraden c und e schneiden sich nie.
   ☐ richtig       ☐ falsch
6. Die Gerade e hat die Gleichung \(y=3\).
   ☐ richtig       ☐ falsch
7. Die Gerade d ist das Schaubild einer Funktion, da jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird.
   ☐ richtig       ☐ falsch   
8. Die Geraden b und e schneiden sich im Punkt \(S(3|-5,5)\)
   ☐ richtig       ☐ falsch   
9. Die Geraden a und f unterscheiden sich nur durch ihren y-Achsenabschnitt.
   ☐ richtig       ☐ falsch
10. Eine Gerade, die orthogonal (senkrecht) auf der Geraden c stehen würde, hätte die Steigung \(\frac{1}{3}\).
    ☐ richtig       ☐ falsch

Aufgabe 10  Selbst Beispiele geben 𝕃

Betrachte die Funktion f mit \(f(x)=-\frac{1}{4}x+1\)

1. Überprüfe, ob der Punkt \(P(2|0,5)\) auf dem Schaubild liegt.
2. Gib je einen Punkt an, der oberhalb bzw. unterhalb der Geraden liegt.
3. Gib eine Funktion g an, deren zugehöriges Schaubild das Schaubild von f nicht schneidet. 
4. Gib eine Funktion h an, deren Schaubild das Schaubild von f im Punkt \(P(1|0,75)\) schneidet.

Aufgabe 10  Geradengleichungen 𝕃

Gegeben sind die Gerade \(g_1: y=-2x+4\) sowie die Punkte \(A(1|2)\) und \(B(4|3)\).

1. Zeige, dass der Punkt A auf der Geraden g₁ liegt.
2. Bestimme die Gleichung einer Geraden g₂ durch die Punkte \(A(1|2)\) und \(B(4|3)\).
3. Berechne den Schnittpunkt von g₁ und g₂. Welcher Punkt muss sich dabei ergeben? 

Aufgabe 10  Zusammenhang Masse und Volumen 𝕃

Vergleicht man Stoffe mit dem gleichen Volumen, so besitzen diese meist unterschiedliche Massen. Der Zusammenhang zwischen Masse und Volumen für verschiedene Stoffe wird in folgendem Diagramm dargestellt:

1. Die Stoffe besitzen ein Volumen von 300 cm³. Welche Masse hat der jeweilige Stoff? 
2. Bei welchem Volumen besitzt Magnesium die gleiche Masse wie 300 cm³ Wasser? 
3. Bestimme jeweils eine zugehörige Geradengleichung. 

Aufgabe 10  Aufgabe zu Funktionsvorschriften 𝕃

Gegeben sind die Funktionen \(f\) mit \(f(x) = \frac{1}{8}x - \frac{3}{2}\) und \(g\) mit \(g(x) = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{8}\).

1. Bestimme \(x\), wenn gilt: \(f(x) = -\frac{5}{8}\)
2. Welchen Wert muss \(x\) annehmen, wenn gilt: \(f(7) = g(x)\)? 
3. Bestimme \(c\), wenn gilt: \(f(5) + c = g(6)\).

Aufgabe 10  Richtig-Falsch-Aufgaben zu Funktionsvorschriften 𝕃

Gegeben sind die Funktionen \(f\) durch \(f(x) = -3x+7\) und \(g\) durch \(g(x) = \frac{1}{3}x-2\).
Kreuze jeweils an, ob die Aussage richtig oder falsch ist.
Stelle die falschen Aussagen richtig!

1. Die Funktion \(f\)  nimmt an der Stelle 3 den Funktionswert 1 an.
   ☐ richtig       ☐ falsch
2. Es gilt \(g(9) = 1\).
   ☐ richtig       ☐ falsch
3.  Das Schaubild der Funktion \(f\)  schneidet die x-Achse an der Stelle \(\frac{7}{3}\).
   ☐ richtig       ☐ falsch   
4. Die Funktionen \(f\) und \(g\) nehmen an der Stelle \(x = 2,5\) denselben Funktionswert an.
   ☐ richtig       ☐ falsch
5. Die Schaubilder der Funktionen stehen senkrecht aufeinander.
   ☐ richtig       ☐ falsch
6. Die Funktion \(f\) ordnet dem Wert 5 eine kleinere Zahl zu als die Funktion \(g\).
   ☐ richtig       ☐ falsch
7. Die Funktion \(g\) ordnet allen Werten größer 6 negative Funktionswerte zu.
   ☐ richtig       ☐ falsch   

Aufgabe 10  Länge und Mittelpunkt einer Strecke 𝕃

In nachfolgendem Koordinatensystem sind mehrere Punkte eingezeichnet.

1. Bestimme die Länge der Strecken \(BE\) und \(BD\). 
2. Gib die Koordinaten des Mittelpunktes \(M\) der Strecke \(EA\) an.  
   Überprüfe, ob die Gerade durch den Punkt \(D\) mit Steigung -1 durch \(M\) geht. 
3. Berechne den Umfang des Dreiecks \(BAC\). 

Aufgabe 10  Länge und Mittelpunkt einer Strecke 2 𝕃

1. Berechne die fehlenden Koordinaten, wenn \(M\) der Mittelpunkt der Strecke \(P_1P_2\) ist:  \(P_1(-3|2); \ \ P_2(0|0);\ \ M( ?|? )\)
   \([P_1(4|?); \ \ P_2(-2|5);\ \ M(?|3,5)] \)
2. Gegeben sind die Punkte \(A(3|-5)\) und \(B(7|2)\). Bestimme die Gleichung der Geraden mit \(m = 0,5\), die durch den Mittelpunkt der Strecke \(AB\) geht. 
3. Zeige, dass die Entfernung vom Punkt \(A\) und dem Schnittpunkt der Geraden aus b) mit der y-Achse 10 beträgt.

Aufgabe 10  Tinas Orthogonale 𝕃

Tina hat folgende Hausaufgabe bekommen: Zwei Geraden stehen orthogonal zueinander und schneiden sich im Punkt \(P(-3|-2)\). Bestimmen Sie mögliche Geradengleichungen. 

Sie hat folgendes in ihr Heft notiert:

1. Erläutere kurz, warum Tina die Steigung \(m = 5\) frei wählen durfte. 
2. Bestimme für Tina die zugehörige Orthogonale!

Aufgabe 10  T-Shirtkosten 𝕃

Bei der Produktion von T-Shirts mit aufwendigem Druck und aufgenähten Strasssteinen fallen in einem Unternehmen variable Stückkosten in Höhe von 15 Euro an. Ab einer Menge von 200 T-Shirts betragen die variablen Stückkosten nur noch 11 Euro, da das Unternehmen Einkaufsrabatte nutzen kann.

1. Bestimme den Funktionsterm, der die Kosten für eine Produktionsmenge kleiner 200 Stück angibt. Bestimme auch den Funktionsterm für größere Produktionsmengen.
2. Zeichne den Kostenverlauf des Unternehmens in ein Koordinatensystem.
3. Erläutere, wie sich das Schaubild verändern würde, wenn in dem Unternehmen fixe Kosten, die unabhängig von der produzierten Menge sind, in Höhe von 600 Euro anfallen würden.

Aufgabe 10  Fruchtsafttank 𝕃

Ein Fruchtsafthersteller nutzt zylinderförmige Edelstahltanks zur Zwischenlagerung von Fruchtsäften. Ein Tank fasst 6000 Liter und wird gleichmäßig gefüllt. Nach 6 Minuten sind 2100 Liter im Tank, eine Viertelstunde später 4350 Liter.

1. Stelle die Füllmenge in Abhängigkeit von der Zeit einem Schaubild dar.
2. Wie viel Liter waren zu Beginn noch im Tank?
3. Wie lange dauert es, bis der Tank voll ist?

Aufgabe 10  Geradenbüschel 2 𝕃

Gegeben ist das nebenstehende "Geradenbüschel" (es sind nur 5 von unendlich vielen
Geraden eingezeichnet):

1. Was haben diese Geraden gemeinsam?
2. Entscheide, welche der folgenden Geraden zum Büschel gehören und welche nicht. Begründe deine Antwort.

Aufgabe 10  Orthogonale Geraden 𝕃

Gegeben sind die Gerade  \( g_1 : y = \frac{3}{4}x + 2\) sowie der Punkt \(A(7|1)\).

1. Zeichne die Gerade \(g_1\) und den Punkt \(A\) in ein Koordinatensystem.
2. Berechne die Gleichung einer zu \(g_1\) orthogonalen (rechtwinkligen) Geraden \(g_2\) durch den Punkt \(A\).
   Zeichne \(g_2\) in das Koordinatensystem ein.
3. Berechne den Schnittpunkt \(S\) von \(g_1\) und \(g_2\).
4. Berechne den Abstand der Punkte \(A\) und \(S\).
5. Welche Bedeutung hat dieser Abstand für die Gerade \(g_1\) und den Punkt \(A\)?

Aufgabe 10  Die Temperatur in den USA 𝕃

Antons Freund aus den USA berichtet per Email wie warm es ist. Da gibt es Temperaturen von 84°, 96°. Anton wundert sich zunächst und erfährt dann, dass in USA die Temperatur nicht nach Celsius (°C) sondern nach Fahrenheit (°F) gemessen werden. 0°C sind 32°F, 100°C sind 212° F.
Anton möchte für sich ein Diagramm erstellen, um die Angaben seines Freundes in Grad Celsius umzuwandeln.
Erstelle eine solches Diagramm und versuche eine Umrechnungsformel aufzustellen.
Was spricht für die Verwendung der Fahrenheit-Skala?

Aufgabe 10  Lösen von linearen Ungleichungen 𝕃

Bestimme jeweils grafisch und rechnerisch die Lösungsmenge:

1. \(-2x + 3 < 5\)
2. \(3(x + 4) \geq 6\) 
3. \(5 - 3x > 4(x - 0,5)\)
4. \(6 + 3(x - 1) \leq 4(x + 3(x - 1)) - 8x\)

Aufgabe 11  Lösung zweier Gleichungen 𝕃

Gegeben sind die beiden Gleichungen

Gib an, ob es ein Zahlenpaar \((x|y)\) gibt, das für beide Gleichungen eine Lösung darstellt?

Aufgabe 11  Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen 𝕃

Eine zweistellige Zahl wird um 18 kleiner, wenn man ihre Ziffern vertauscht. Die Zahl ist so groß wie das Siebenfache ihrer Quersumme. Ermittle die Zahl.

Hinweis: Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern einer mehrstelligen Zahlen. Zum Beispiel wäre die Quersumme von 108: 1+0+8=9

Aufgabe 11  Lineares Gleichungssystem mit drei Variablen 𝕃

Drei Tanten Karin, Brigitte und Jutta werden nach ihrem Alter gefragt. Da alle drei Tanten ihr Alter ungern einfach preisgeben, antworten sie: ohne Karin sind wir 130 Jahre alt, ohne Brigitte sind es 124 Jahre und ohne Jutta sind es 122 Jahre. Berechne das Alter von Karin, Brigitte und Jutta.

Aufgabe 12  Seitenhalbierende im Dreieck 𝕃

Die Seitenhalbierende in einem Dreieck verbinden jeweils eine Ecke des Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite.

Ein Dreieck im Koordinatensystem hat die Eckpunkte \(A(-1|-2), B(5|3)\)  und \(C(3|7)\).

1. Berechne die Gleichung der Gerade, die durch \(A\)und durch den Mittelpunkt der Strecke \(BC\) geht. Überprüfe dein Ergebnis in einem Schaubild.
2. Berechne die Gleichung der Gerade, die durch den Punkt \(B\) und durch den Mittelpunkt der Strecke \(AC\) geht. Überprüfe dein Ergebnis im Schaubild.
3. Der Schnittpunkt der Geraden (Seitenhalbierenden) ist der Schwerpunkt des Dreiecks. Berechne diesen Schwerpunkt.

Aufgabe 12  Umfang eines Dreiecks 𝕃

Berechne den Umfang des Dreiecks \(ABC\) mit \(A(-2|3), B(10|-2), C(1|7)\).

Aufgabe 5  Wo ist der Fehler? 𝕃

Wo ist der Fehler?

Aufgabe 5  Quadratische Gleichungen 𝕃

Berechne die Lösungsmenge in \(G = \mathbb{R}\).

Aufgaben mit Lösungsformel:

1.a) \(2x^2 + 3x - 2 = 0\)  
1.b) \(-x^2 - 2x + 3 = 0\)  

2.a) \(x^2 - 12x + 36 = 0\)  
2.b) \(x^2 - 10x + 25 = 0\)  

3.a) \(9x^2 - 6x + 2 = 0\)  
3.b) \(x^2 - 2x + 3 = 0\)  

Gleichung: \(ax^2 + bx + c = 0; a \neq 0\)  
Jede quadratische Gleichung kann mit dieser Formel gelöst werden:
Lösungsformel: \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}\)  
Diskriminante: \(D = b^2 - 4ac\)

Sonderfälle:

4.a) \(2x^2 - 24 = 0\)  
4.b) \(0,5x^2 - 4,5 = 0\)  

5.a) \(3 \cdot (x - 0,5) \cdot (0,75 + x) = 0\)  
5.b) \(1,5 \cdot (2x + 4) \cdot (3 - 0,5x) = 0\)  

6.a) \(0,5x^2 - 0,75x = 0\)  
6.b) \(-5x^2 + x = 0\)  

Jede Aufgabe kann auch mit Hilfe der p-q-Formel gelöst werden (siehe Stolpersteine).

Aufgabe 5  Zuordnungsaufgabe quadratische Gleichungen 𝕃

Ordne den Gleichungen die richtige(n ) Lösung(en) aus den Auswahlmöglichkeiten zu. Trage dazu a), b) und/oder c) in das Lösungsfeld ein.

Aufgabe 5  Leos Lösung 𝕃

Die Gleichung \(\frac{2}{x-1}+2=\frac{6-2x}{x^2-1}\) war als Hausaufgabe zu lösen.
Leo behauptet: \(\text{L}=\{-3;1\}\)
Was hältst du von seiner Lösung?

Aufgabe 5  Vielfachheit von Lösungen 𝕃

Für welche Werte von \(a\) besitzt die Gleichung
\(x^2 - 2x + a = 0\)
zwei Lösungen, eine Lösung bzw. keine Lösung?

Aufgabe 5  Entscheiden für den effektiven Lösungsweg 𝕃

1. Kreuze bei den nachfolgenden Aufgaben an, welcher Rechenweg der effektivste ist.

2. Bestimme jeweils die Lösungsmenge in \(G=\mathbb{R}\).

Aufgabe 5  Richtig oder falsch 𝕃

Sind folgende Umformungen von Zeile zu Zeile richtig?
Begründe, wenn die Umformung falsch ist.

Aufgabe 5  Richtig oder falsch? 𝕃

Wähle die richtige(n ) Aussage(n ) aus und begründe deine Entscheidung.

Wie viele Lösungen hat die folgende quadratische Gleichung?
\(x^2 + 9 = 0\)

☐ Eine Lösung: \(x = -3\), da \(-3^2 = -9\)
☐ Zwei Lösungen: \(x_1 = 3, \ x_2 = -3\), da beides zum Quadrat \(-9\) ergibt
☐ Keine Lösung, da die Diskriminante negativ ist.
☐ Keine Lösung, da man die Wurzel aus Null nicht ziehen kann. 

Aufgabe 6  Differenz von Quadratzahlen 𝕃

Zeige, dass allgemein gilt:

Die Differenz der Quadrate von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist immer die Summe der beiden Zahlen.

Aufgabe 6  Wahr oder falsch? 𝕃

Welche Aussage ist wahr? Begründe!

1. Eine quadratische Gleichung hat immer zwei Lösungen.
2. Die Lösungen einer quadratischen Gleichung entsprechen den Schnittstellen einer Parabel mit der x-Achse.
3. Die Gleichung \(x^2 + a = 0\) hat keine Lösung.

Aufgabe 6  Rote Rosen 𝕃

Tim kauft für seine Freundin rote Rosen für 60 €.
In der nächsten Woche kauft er wieder rote Rosen für 60 €. Weil eine Rose jetzt aber 0,40 € mehr kostet, bekommt er 5 Rosen weniger.
Was kostete eine Rose in der ersten Woche?
Wie viele Rosen bekam er in der ersten Woche für 60 €?

Aufgabe 6  Familientreffen 𝕃

Familie Müller trifft sich jedes Jahr an Heilig Abend zum gemeinsamen Weihnachtsfest. Jeder kommt mit vielen Geschenken und unter dem Weihnachtsbaum wird es langsam eng.
Bei der Bescherung werden insgesamt 306 Geschenke ausgepackt, denn jeder hat für jedes Familienmitglied genau ein Geschenk mitgebracht.
Wie viele Familienmitglieder treffen sich zum Weihnachtsfest? Begründe deinen Lösungsweg.

Aufgabe 9  Nullstellen 𝕃

Begründe, welche der folgenden Behauptungen wahr oder falsch sind. 

1. Eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt P(3|4) schneidet die x-Achse nicht. 
2. Eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt P(15|30) schneidet die x-Achse zwei Mal. 

Aufgabe 9  Koordinaten ablesen 𝕃

Die Abbildung zeigt die Parabel mit der Gleichung \(y=-x^2-2x+2\)

1. Für welche Werte gilt \(y=2\)? 
2. Welcher y-Wert gehört zu \(x=1\)? 
3. Bei welchem x-Wert hat der zugehörige Parabelpunkt den größten y-Wert?

Aufgabe 9  Wertetabelle 𝕃

Gegeben ist die folgende Wertetabelle einer Parabel:

1. Vervollständige die Wertetabelle.
2. Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel. 
3. Gib zwei Eigenschaften der Parabel an. 

Aufgabe 10  Scheitelpunkt  𝕃

Begründe, welche der folgenden Behauptungen wahr oder falsch sind.

1. Eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt P(3|4) schneidet die x-Achse nicht. 
2. Eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt P(15|30) schneidet die x-Achse zwei Mal.

Aufgabe 10  Abschnittsweise definierte Funktionen 𝕃

1. Lies folgende Funktionswerte ab:
   \(f(0) = \)
   \(f(3,5) = \)
   \(f(-1) = \)
   \(f(2) = \)
2. An welchen Stellen gilt \(y = 4\)?
3. Gib die zugehörigen Gleichungen der Funktion an.

Aufgabe 11  Lösung einer Schnittpunktberechnung überprüfen 𝕃

Ein Schüler einer Eingangsklasse hat die gegenseitige Lage einer Parabel p und einer Geraden g bestimmt. Überprüfe sein Ergebnis.

Aufgabe 11  Parabeln finden 𝕃

Gesucht sind Parabeln, die durch den Punkt P gehen und die gegebene Gerade schneiden, berühren oder keinen Punkt mit ihr gemeinsam haben.

1. Beschreibe deine Vorgehensweise. 
2. Wie viele Parabeln gibt es in jedem der drei Fälle?
3. Bestimme für jeden Fall eine Gleichung einer Parabel. Schildere, wie du deine Ergebnisse überprüfen kannst.
4. Hugo behauptet, der Scheitel einer berührenden Parabel läge auf der Geraden. Nimm dazu Stellung!

Aufgabe 11  Gerade verschieben 𝕃

Verschiebe die abgebildete Gerade so, dass sie

1. die Parabel schneidet
2. die Parabel berührt
3. mit der Parabel keinen Punkt gemeinsam hat.

Nenne für jeden der drei Fälle eine Gleichung einer Geraden.

Aufgabe 11  Gegenseitige Lage von Parabel und Gerade 𝕃

Überprüfe folgende Aussage:
Eine nach unten geöffnete Normalparabel mit dem Scheitel \(S(1|1)\) hat mit der Geraden \(g: y = x + 1\) einen gemeinsamen Schnittpunkt.

Aufgabe 11  Gegenseitige Lage von zwei Parabeln 𝕃

Gegeben sind folgende Wertetabellen. Sie gehören jeweils zu einer Parabel.

Untersuche, wie die Parabeln zueinander liegen.

Aufgabe 13  Wurf 𝕃

Ein Kugelstoßer stößt eine Eisenkugel. Die Bahn der Kugel ist eine Parabel.

Die Gleichung  \(f(x) = -0,06x^2 + 0,9x + 1,7\)  beschreibt die Bahn.
\(x\) gibt den Abstand vom Abwurf in Meter an, \(f(x)\) ist die Höhe über dem Boden.

Wie weit stößt der Kugelstoßer?

Aufgabe 13  Rechteck – Fläche - Umfang 𝕃

Gibt es ein Rechteck mit dem Umfang 10 cm und dem Flächeninhalt 4 cm²?

Aufgabe 13  Beste Kinopreise 𝕃

Ein Kino verlangt einen Eintrittspreis von 7€ pro Filmvorführung. Im Durchschnitt kommen  dann ca. 100 Gäste in die Vorstellung. Durch verschiedene Aktionsprogramme hat der Kinobesitzer festgestellt, wenn er den Eintrittspreis um 0,50 € senkt erscheinen ungefähr 10 Kinogäste mehr pro Vorführung. Senkt der Kinobesitzer den Preis sogar um 1 €, so erscheinen 20 Besucher mehr usw.
Gleiches gilt für eine Preiserhöhung. Eine Preissteigerung um 0,50€ lässt 10 Gäste weniger erscheinen, eine Preissteigerung um 1€ 20 Zuschauer weniger, um 1,50€ 30 Zuschauer weniger usw.

Wie hoch sollte der Kinobesitzer den Eintrittspreis festsetzen?
Begründe Deine Entscheidung.

Aufgabe 14  Nullstellen 𝕃

Welche der Zahlen \(-2; 0; 4; 6\) sind Nullstellen der Parabel mit der Gleichung \(y=\frac{1}{2}x^2-x-4\)?

Aufgabe 14  Parabelgleichung bestimmen 𝕃

Gib eine zugehörige Parabelgleichung an.

1. Eine Parabel schneidet die x-Achse an den Stellen \(x=-1\) und \(x=1\).
2. Eine Parabel schneidet die x-Achse an der Stelle \(x=3\).

Aufgabe 14  Theorie Schnittpunkt Parabel und Gerade 𝕃

Kreuze jeweils an, ob die Aussage richtig oder falsch ist.
Stelle die falschen Aussagen richtig!

1. Eine Gerade, die eine Kurve K berührt, nennt man Tangente an K.
   ☐ richtig       ☐ falsch
2. Wenn bei der Schnittpunktberechnung von Gerade und Parabel die Diskriminante null wird, dann besitzen die beiden Kurven keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
   ☐ richtig       ☐ falsch   
3. Eine Parabel und eine Gerade schneiden sich, wenn bei der Schnittpunkt-berechnung entweder die Diskriminante positiv oder null wird.
   ☐ richtig       ☐ falsch   
4. Eine Gerade, die eine Parabel zweimal schneidet, heißt Sekante.
   ☐ richtig       ☐ falsch
5. Jede Parabel, die oberhalb einer Geraden liegt kann verschoben werden, so dass sie einen oder auch zwei Schnittpunkte mit der Geraden hat.
   ☐ richtig       ☐ falsch

Aufgabe 14  Schnitt von Parabel und Gerade 𝕃

Untersuche, wie Parabel und Gerade zueinander liegen. Ermittle, falls vorhanden, die Koordinaten der gemeinsamen Punkte.

1. \(y=6x^2; \quad y=5x+4\)
2. \(y=2x^2-\frac{3}{2}; \quad y=3\)
3. \(y=x^2; \quad y=3x-4\)
4. \(y=x^2-3; \quad y=2x-4\)

Aufgabe 14  Verlauf einer Parabel 𝕃

Die folgenden Gleichungen gehören zu den Abbildungen 1 bis 3:

Abb.1	Abb.2	Abb.3

1. Gib an, zu welchem Schaubild die jeweilige Gleichung gehört und begründe deine Antwort durch Angabe einer Eigenschaft.
2. Welche der Parabeln wird von der Geraden \(g\) mit \(y=x-6\) geschnitten? Begründe ohne weitere Rechnung.

Aufgabe 14  Zahnparabel 𝕃

Das Bild zeigt das Gipsmodell eines Oberkiefers. Der Zahnarzt hat es angefertigt, um Füllungen für die Löcher herzustellen. Vier Zähne sind durch Karies geschädigt.
Julia sagt: „Die Zahnreihe bildet eine perfekte Parabel.“
Was meinst du?
Hat der Mensch eine Parabel im Mund?

Wenn du das Bild auf Papier gedruckt hast, kannst du versuchen eine passende Parabel über die Zahnreihe zu legen.

Du kannst auch einen Abdruck deiner eigenen Zahnreihe auf ein Papierstück
„beißen“ und versuchen eine passende Parabel zu finden.

Aufgabe 14  Parabelscharen 1 𝕃

Eine Düse am Boden spritzt einen Wasserstrahl im Winkel von 45° gegen die Waagerechte. Der Wasserstrahl ist parabelförmig gebogen. Je nach Wasserdruck ergeben sich kleine oder große Bögen.
\(f_t(x)=-\frac{1}{t}\cdot x^2+x\) beschreibt die Schar der möglichen Parabeln.  (\(t>0\))

Setze für t den Wert 1 ein und zeichne die Parabel.  
Setze für t den Wert 2 ein und zeichne die Parabel.  
Setze für t den Wert 3 ein und zeichne die Parabel.  
....
Was fällt auf? Was haben alle Parabeln gemeinsam?
Was ändert sich, wenn man t ändert?
Wo trifft der Strahl wieder auf den Boden? Kann man das allgemein für alle Werte von t sagen?

Info: \(x\) ist die Funktionsvariable, \(t\) ist der „Schar-Parameter“ .

Aufgabe 14  Parabelscharen 2 𝕃

\(f_t(x) = x^2 -2t\cdot x +t^2\) beschreibt eine Schar von Parabeln.  
Setze für \(t\) verschiedene Werte ein und zeichne die Parabeln.
Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede.
Wo liegen die Scheitel der Parabeln? 

Aufgabe 14  Parabelscharen 3 𝕃

\(f_t(x) = x^2 -2t\cdot x\) beschreibt eine Schar von Parabeln.
Setze für \(t\) verschiedene Werte ein und zeichne die Parabeln.
Beschreibe Gemeinsamkeiten und Unterschiede. 

Gib die Schnittpunkte mit der x-Achse und den x-Wert des Scheitels an - zuerst für einzelne Werte von \(t\) dann allgemein.
Zeichne zusätzlich die Parabel \(y = -x^2\) . Was fällt auf? 

Aufgabe 14  Parabelscharen 4 𝕃

\(f_t(x) = x^2 -2t\cdot x+t^2+\frac{1}{2}t\) beschreibt eine Schar von Parabeln.

Wo liegen die Scheitel der Parabeln?

Aufgabe 14  Parabeln zeichnen 𝕃

Zeichne und skaliere jeweils ein Koordinatensystem, sodass jede der folgenden Parabeln die Normalparabel darstellt (mit der Parabelschablone gezeichnet werden kann). 

\(p: y=x^2+3\)
\(q: y=(x+1)^2\)
\(f: y=4x^2\)
\(g: y=-0,5x^2+2\)
\(h: y=1,5(x-2)^2\)
\(m: y=1,5(x-2)^2-4,5\)

Aufgabe 14  Sekante, Tangente, Passante in Abhängigkeit von t 𝕃

Gegeben sind die Funktionen \(f\) mit \(f(x) = tx^2-2\) und \(g\) mit \(g(x) = 0,5x +1\).
Für welche Werte von \(t\) ist die Gerade eine Tangente, eine Sekante oder eine Passante?

Aufgabe 14  Brennpunkt 𝕃

Zeichne die Parabel mit der Gleichung \(y=x^2\) in ein Koordinatensystem. Wenn du eine Parabelschablone benutzt, findest du in der Nähe des Scheitels meist ein kleines Loch, mit dem du den Punkt ) \(F\left(0\bigl|\frac{1}{4}\right)\) markieren kannst. Dieser Punkt ist der sogenannte Brennpunkt der Parabel. Zeichne den Punkt \(F\) ein und außerdem die waagerechte Gerade \(y=-\frac{1}{4}\)

Berechne für verschiedene Parabelpunkte den Abstand von \(F\) und den Abstand von der waagerechten Geraden.   
Was fällt auf?

Die Aufgabe für Experten:  
Nimm als Parabelpunkt \(P(a|a^2)\). Berechne den Abstand von \(F\) und den Abstand von der waagerechten Geraden. Kannst du die Vermutung von oben bestätigen?

Aufgabe 14  Größtes rechteckiges Grundstück 𝕃

WESTERN TRIBUNE 3RD JULY 1898
LAND-RACE AM ARKANSAS-RIVER

Dodge City. Die Western Pacific Railroad Compagny verschenkt morgen ein großes Grundstück am Arkansas-River. Das Gelände erhält derjenige, der es schafft, mit 500 m Zaun das größte rechteckige Grundstück abzustecken. Das Grundstück schließt direkt an das Ufer des Flusses an und soll von drei Seiten eingezäunt werden. Die Interessenten mögen sich bei Morgengrauen am Fluss einfinden.

Aufgabe 15  Flächeninhalt eines Dreiecks 𝕃

Die Punkte \(A(-2|-3), B(7|3)\) und \(C(0|7)\) sind die Ecken eines Dreiecks \(ABC\). Zudem ist der Punkt \(H(4|1)\) gegeben.

1. Zeichne das Dreieck \(ABC\) und den Punkt \(H\) in ein Koordinatensystem und zeige durch Rechnung, dass der Punkt \(H\) auf der Seite \(AB\) liegt.
2. Prüfe mit Hilfe des Satzes des Pythagoras, ob das Dreieck \(BCH\) rechtwinklig ist.
3. Berechne die Fläche des Dreiecks \(ABC\).

Aufgabe 15  Rechtwinkliges Dreieck 𝕃

Die Punkte \(A(2|2), B(0,5|1)\) und \(C(4|-1)\) bilden ein Dreieck.
Zeige, dass dieses Dreieck rechtwinklig ist.

Aufgabe 15  Dreiecksseiten 𝕃

Begründe, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Katheten größer als die Hypotenuse ist.

Aufgabe 18  Flächeninhalt eines Dreiecks 𝕃

Der Punkt \(P(1|-3)\) ist der Eckpunkt eines zur y-Achse symmetrischen Dreiecks mit der Spitze im Ursprung. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

Aufgabe 18  Dreiecksfläche 𝕃

Gegeben sind die Punkte \(A(-1|1), B (5|2) \) und \(C( 2|4) \).

1. Zeichne das Dreieck \(\Delta ABC\) in ein Koordinatensystem. 
2. Zeichne das kleinste achsenparallele Rechteck, das das Dreieck \(\Delta ABC\) enthält, in das Koordinatensystem und berechne dessen Flächeninhalt. 
3. Berechne mit Hilfe von b) den Flächeninhalt des Dreiecks \(\Delta ABC\). 
4. Beschreibe die Lösungsschritte, die notwendig sind, wenn man die Dreiecksfläche mit Hilfe der Formel \(F=\frac{1}{2}g\cdot h_g\) berechnen wollte. 

Aufgabe 18  Richtig oder falsch? 𝕃

Wähle die richtige(n ) Aussage(n ) aus und begründe deine Entscheidung.

Ein quaderförmiges Schwimmbecken mit der Länge \(a\), der Breite \(b\) und der Tiefe \(c\) soll gefliest werden. Nach welcher Formel kann die zu fliesende Fläche berechnet werden?

☐ \(ab + 2ac + 2bc\)
☐ \(2a^2 + 2b^2 + c^2\)
☐ \(5abc\)
☐ \(2ab + 2ac + 2bc\)

Aufgabe 20  Bakterienwachstum 𝕃

E-Coli-Bakterien verdoppeln ihre Anzahl alle 20 Minuten.
Nehmen wir an, dass am Anfang 100 Bakterien vorhanden sind.

Wie entwickelt sich die Bakterienzahl dann in den ersten 2 Stunden?

Bitte fertige eine Wertetafel für diesen Zeitraum an.

Aufgabe 20  Bakterienwachstum 2 𝕃

E-Coli-Bakterien verdoppeln ihre Anzahl alle 20 Minuten.
Nehmen wir an, dass am Anfang 100 Bakterien vorhanden sind.

Wie entwickelt sich die Bakterienzahl dann in den ersten 2 Stunden?

Bitte fertige eine Wertetafel für diesen Zeitraum an und zeichne das Schaubild der Entwicklung in ein geeignetes Koordinatenkreuz.

Aufgabe 20  Bakterienwachstum 3 𝕃

E-Coli-Bakterien verdoppeln ihre Anzahl alle 20 Minuten.
Nehmen wir an, dass am Anfang 100 Bakterien vorhanden sind.

Wie entwickelt sich die Bakterienzahl dann in den ersten 2 Stunden?

1. Bitte fertige eine Wertetafel für diesen Zeitraum an.
2. Wie lautet die Funktionsgleichung?

Aufgabe 20  Bakterienwachstum 4 𝕃

E-Coli-Bakterien verdoppeln ihre Anzahl alle 20 Minuten.
Nehmen wir an, dass am Anfang 100 Bakterien vorhanden sind.

Wie entwickelt sich die Bakterienzahl dann in den ersten 2 Stunden?

1. Bitte fertige eine Wertetafel für diesen Zeitraum an.
2. Wie viele Bakterien, glaubst du, sind nach 10 Minuten vorhanden?
   1) 150         2) weniger als 150        3) mehr als 150

Aufgabe 20  Bakterienwachstum 5 𝕃

E-Coli-Bakterien verdoppeln ihre Anzahl alle 20 Minuten.
Nehmen wir an, dass am Anfang 100 Bakterien vorhanden sind.

Wie entwickelt sich die Bakterienzahl dann in den ersten 2 Stunden?

1. Bitte fertige eine Wertetafel für diesen Zeitraum an.
2. Wie lautet die Funktionsgleichung?
3. Die Funktionsgleichung in b) hat die Einheit 20 Minuten, was ungewöhnlich ist. Wie lautet die Funktionsgleichung in der Einheit Stunde für die Zeit?

Aufgabe 21  Steigung einer Straße 𝕃

Die Steigung einer Straße wird auf Verkehrsschildern in Prozent angegeben. Dabei bedeutet z.B. eine Steigung von 12%, dass die Straße auf 100 Meter Horizontalabstand 12 Meter ansteigt:
 

Alfons legt mit seinem Fahrrad bei einem Anstieg eine Strecke von 2 km zurück. Sein Tacho, der auch die Höhe messen kann, zeigt in diesem Abschnitt eine Höhendifferenz von 184 m an.
Oben angekommen erzählt er Klara, die auf ihn gewartet hat: "Auf den letzten zwei Kilometern war die durchschnittliche Steigung genau 9,2%!"
Klara meint: "Das stimmt nicht! Die Steigung war größer!"

1. Was meinst du dazu?
2. Wie groß ist der Steigungswinkel der Straße (zur Horizontalen gemessen)?
3. Wie groß ist der Horizontalabstand, den Alfons in diesem Abschnitt zurückgelegt hat?
4. Klara hat mit dem Horizontalabstand aus c) die Steigung berechnet. Wie groß ist die Abweichung der Ergebnisse von Klara und Alfons?
5. Der Höhenmesser von Alfons misst nur auf 2 Meter genau. Die zurückgelegte Strecke wird auf 10 Meter genau angegeben. Wie wirkt sich dies auf die Genauigkeit der Steigung aus?
   Welcher Fehler wirkt sich hier stärker aus, die Messungenauigkeit des Tachos oder der falsche Horizontalabstand in der Rechnung von Alfons?

Aufgabe 21  Richtig oder falsch? 𝕃

Wähle die richtige(n) Aussage(n) aus und begründe deine Entscheidung.

☐ Richtig, weil \(67,\! 5^\circ : 45^\circ = 1,\! 5\).
☐ Falsch, weil die Hypotenuse länger ist als die Gegenkathete.
☐ Richtig, weil die Länge der Hypotenuse durch die Länge der Gegenkathete dividiert wird.
☐ Falsch, weil der Sinuswert eines Winkels immer kleiner oder gleich 1 ist.