Mathebrücke Anforderungsbereich I

Aufgabe 1  Algebraische Begriffe  𝕀  𝕋  𝕃

Gib an, welche der unten aufgeführten Rechenausdrücke zu folgender Aufgabe passt:
Subtrahiere vom Produkt der Zahlen 12 und 17 die achtfache Differenz der Zahlen 50 und 28.

Aufgabe 1  Was gehört zusammen? 𝕀  𝕋  𝕃

Ordne die Sachverhalte in der linken Spalte den Termen in der rechten Spalte zu:

Zwei Strohhalme unterscheiden sich um 5cm. Der längere hat die Länge x.  Wenn man die Strohhalme hintereinander legt, haben sie eine Gesamtlänge von 60cm.
x ist das Alter von Kurt. Hanne ist 5 Jahre älter.  Zusammen sind sie 60 Jahre alt.
Herr Müller erhält bei einem Guthaben von x € Zinsen in Höhe von 60€. Der Zinssatz beträgt 3%.
Eine Seite eines Quadrates wird um 12cm  verlängert, die andere um 5cm verkürzt. Der  Flächeninhalt der neuen Figur beträgt 60cm².
Auf einer 60kg schweren Palette stehen 5 gleiche Stühle. Die leere Palette wiegt 12kg.
Für ein Guthaben von x € erhält Frau Müller 3%  Zinsen. Jeden Monat sind dies 60€.
Ein rechteckiges Freigehege, bei dem sich die beiden Seitenlängen um 5m unterscheiden, hat eine Fläche von 60m².
Johnny hat eine Spardose. Johnny hat 5 Schwestern. In der Spardose befinden sich 60€. An seine Schwestern muss er jeweils einen gleichen Geldbetrag überreichen. Am Schluss verbleiben ihm 12€.

Aufgabe 1  Falsche Termumformungen 𝕀  𝕋  𝕃

Begründe jeweils anhand eines Zahlenbeispiels, dass folgende Termumformungen falsch sind. Gib, wenn es geht, die richtige Termumformung an.

Gibt es Zahlenbeispiele, für die die obigen Umformungen zufällig richtig sind?

Aufgabe 1  Zuordnungsaufgabe Ausklammern/Faktorisieren 𝕀  𝕋  𝕃

Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.

Term	Auswahlmöglichkeiten	Lösungsfeld
1)	a)  b)  c)
2)	a)  b)  c)
3)	a)  b)  c)
4)	a)  b)  c)
5)	a)  b)  c)

Aufgabe 1  Zuordnungsaufgabe Binome 𝕀  𝕋  𝕃

Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.

Term	Auswahlmöglichkeiten	Lösungsfeld
1)	a)  b)  c)
2)	a)  b)  c)
3)	a)  b)  c)
4)	a)  b)  c)
5)	a)  b)  c)
6)	a)  b)  c)
7)	a)  b)  c)

Aufgabe 1  Zuordnungsaufgabe Potenzgesetze 𝕀  𝕋  𝕃

Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.

Term	Auswahlmöglichkeiten	Lösungsfeld
1)	a)  b)  c)
2)	a)  b)  c)
3)	a)  b)  c)
4)	a)  b)  c)
5)	a)  b)  c)
6)	a)  b)  c)
7)	a)  b)  c)
8)	a)  b)  c)

Aufgabe 1  Fehlerteufel 𝕀  𝕋  𝕃

Tim stellt seinem Nachhilfeschüler Kevin zwei Aufgaben.
Welcher der angegebenen Terme stellt die richtige Umformung dar?
Erläutere bei a), welche Fehler gemacht wurden. 

1. Löse die Klammer auf:
   1. 
   2. 
   3. 
   4. 
   5. 
2. Vereinfache soweit wie möglich:
   1. 
   2. 
   3. 
   4. 
   5. 

Aufgabe 1  Rechnen mit Potenzen 𝕀  𝕋  𝕃

Fasse zusammen:
1.a)
1.b)
1.c)

Wende die Potenzgesetze an:
2.a)

2.b)

2.c)

2.d)

2.e)

2.f)

2.g)

2.h)

2.i)

2.j)

Aufgabe 1  Termumformungen 𝕀  𝕋  𝕃

Löse die Klammern auf und fasse zusammen („vereinfache“):
1.a)
1.b)

2.a)
2.b)

Multipliziere aus und vereinfache:
3.a)
3.b)

4.a)
4.b)
4.c)
4.d)

Klammere aus („Faktorisiere“):
5.a)
5.b)
5.c)

Aufgabe 1  Richtig oder falsch? 𝕀  𝕋  𝕃

Wähle die richtige(n ) Aussage(n ) aus und begründe deine Entscheidung.

Dividiere 30 durch  und addiere zum Ergebnis 15. Was erhältst du?

☐ 30, weil
☐ 75, weil
☐ 22,5, weil
☐ 75, weil  60mal in die 30 passt und

Aufgabe 2  Lösen von linearen Gleichungen 𝕀  𝕋  𝕃

Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.

Gleichung	Lösungsmenge
1)	L =
2)	L =
3)	L =
4)	L =
5)	L =
6)	L =
7)	L =
8)	L =

Aufgabe 2  Richtig oder falsch? 𝕀  𝕋  𝕃

Wähle bei jeder Aufgabe die richtige(n ) Aussage(n ) aus und begründe deine Entscheidung.

. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

☐  muss 1 sein, weil im Bruch auf der rechten Seite der Gleichung 1 im Zähler steht.
☐  ist das Vierfache von , weil es auf der rechten Seite der Gleichung auch so ist.
☐  ist dreimal so groß wie , weil 4 – 1 = 3.
☐  darf auf keinen Fall den Wert Null annehmen. 

Aufgabe 3  Umsatzsteigerung 𝕀  𝕋  𝕃

Ein Betrieb hatte 2010 einen Umsatz von 325 000 €.
Im Jahr 2011 sank der Umsatz um 18 %.
Für das Jahr 2012 meldet der Betriebsleiter eine Umsatzsteigerung von 25 %.

1. Berechne den Umsatz für das Jahr 2012.
2. Um wie viel Prozent hat sich der Umsatz von 2010 bis 2012 verändert?

Aufgabe 3  Zinsrechnung 𝕀  𝕋  𝕃

Peter legt ein Kapital von 4000 € bei der Bank an. Dieses Kapital wird mit 2,5% verzinst. Die Zinsen werden jährlich mitverzinst.

1. Welcher Betrag steht Peter nach sechs Jahren zur Verfügung?
2. Paul möchte beim gleichen Kapital denselben Endbetrag schon nach vier Jahren ausbezahlt bekommen.
   Welchen Zinssatz muss ihm seine Bank bieten?

Aufgabe 3  Richtig oder falsch? 𝕀  𝕋  𝕃

Wähle die richtige(n ) Aussage(n ) aus und begründe deine Entscheidung.

Der Preis für einen Pullover wird erst um 20% erhöht und anschließend um 20% gesenkt. Wie verändert sich der ursprüngliche Preis?

□ Der Preis bleibt gleich, da  und
□ Der Preis ist höher, da der Grundwert nach der Preiserhöhung höher ist.
□ Der Preis ist niedriger, da der Grundwert vor der Preiserhöhung niedriger ist.
□ Der Preis ist niedriger, weil der Prozentwert nach der Preiserhöhung höher ist.

Aufgabe 4  Kirschen 𝕀  𝕋  𝕃

Auf dem Markt in Rottweil sind Kirschen im Sommer relativ teuer.
Familie Schneider aus Rottweil fährt nach Lahr, um dort Kirschen selbst zu pflücken.
Wann lohnt sich die Fahrt, wenn man von folgenden Randbedingungen ausgeht?

Welche weiteren Überlegungen könnten für oder gegen eine Fahrt nach Lahr sprechen?

Aufgabe 4  Skiurlaub 𝕀  𝕋  𝕃

Die beiden Freunde Stefan und Jens wollen gemeinsam in den Skiurlaub fahren. Ihnen liegen zwei Angebote vor:

Die Preise sind jeweils in Landeswährung angegeben. Wechselkurs: Für 1 Euro erhält man 1,20 Schweizer Franken (CHF).

Wie hoch ist die Ersparnis in Euro, wenn sie in die Schweiz fahren?

Aufgabe 5  Weg-Zeit-Diagramm 𝕀  𝕋  𝕃

Anna besucht ihre Freundin und läuft anschließend wieder nach Hause.

1. Wie lange braucht Anna um bei ihrer Freundin anzukommen?  ... Minuten
2. Wie weit wohnt ihre Freundin entfernt?    ... Meter
3. Wie lange bleibt sie bei ihrer Freundin?    ... Stunde
4. Wann kommt Anna wieder zu Hause an?    Nach ... Minuten
5. Wie viele Kilometer hat sie insgesamt zurückgelegt?    ... Meter

Aufgabe 6  Einkommenssteuer 2010 𝕀  𝕋  𝕃

Beträgt das zu versteuernde Jahreseinkommen mehr als 52881€ und weniger als 250731€,  wird die Einkommensteuer (in Euro) berechnet nach der Vorschrift
                   .
Dabei ist  das zu versteuernde Einkommen.

Wie viel Einkommensteuer bezahlt man, wenn das Einkommen 52882€ beträgt?
Wie viel Prozent des Einkommens sind das?
Wie viel Steuer muss man mehr zahlen, wenn das Einkommen 100€ höher ist?
Hältst Du diesen „Spitzensteuersatz“ für richtig, für zu hoch oder für zu niedrig?

Aufgabe 6  Wertetafeln 1 𝕀  𝕋  𝕃

Prüfe, welche Wertetafel zu einer linearen Funktion gehört.
Zusatz (aus BPE 3.5): Ermittle gegebenenfalls die Gleichung der Geraden.

1. 	-3	-2	-1	0
   	-25	-20	-15	-10

2. 	-1	0	1	2
   	-2	0	2	4

3. 	-1	0	1	2
   	1	2	4	8

Aufgabe 7  Darstellung von Geraden 𝕀  𝕋  𝕃

Gegeben sind die Geraden  und :

Begründe, warum die rechts abgebildete Gerade weder  noch  darstellt.

Aufgabe 8  Tims Schnittpunktberechnung 𝕀  𝕋  𝕃

Tim hat folgende Aufgabe als Hausaufgabe bekommen:
Berechne den Schnittpunkt der beiden Geraden

Tims Lösung sieht folgendermaßen aus:

Ansatz: "Gleichsetzen"

Untersuche die Lösungsschritte und entscheide, ob das Ergebnis richtig
oder falsch ist. Korrigiere falls nötig.

Aufgabe 8  Schnitt von Geraden 𝕀  𝕋  𝕃

Klara möchte den Schnittpunkt von zwei Geraden ausrechnen:

Erkläre, was Klara falsch gemacht hat.

Aufgabe 8  Schnittwinkel von Geraden 𝕀  𝕋  𝕃

Gegeben sind die Geraden  und .

1. Begründe, warum sich die beiden Geraden schneiden.
2. Zeichne die Geraden in ein Koordinatensystem und lies jeweils den Steigungswinkel (Winkel zur positiven x-Achse) ab.
3. Berechne jeweils den Steigungswinkel von  und .
4. Berechne den Schnittwinkel der Geraden  und .
   Messe diesen in deiner Zeichnung nach.

Aufgabe 9  Aufstellen von Geradengleichungen 𝕀  𝕋  𝕃

Bestimme jeweils eine Gleichung der Geraden.

1. Die Gerade  mit der Steigung  verläuft durch den Punkt .
2. Die Gerade  verläuft durch die Punkte  und . 
3. Die Gerade  schneidet die x-Achse in  und die y-Achse in .

Aufgabe 10  Einkommenssteuer 2010 𝕀  𝕋  𝕃

Beträgt das zu versteuernde Jahreseinkommen mehr als 52881€ und weniger als 250731€,  wird die Einkommensteuer (in Euro) berechnet nach der Vorschrift
                   .
Dabei ist  das zu versteuernde Einkommen.

Wie viel Einkommensteuer bezahlt man, wenn das Einkommen 52882€ beträgt?
Wie viel Prozent des Einkommens sind das?
Wie viel Steuer muss man mehr zahlen, wenn das Einkommen 100€ höher ist?
Hältst Du diesen „Spitzensteuersatz“ für richtig, für zu hoch oder für zu niedrig?

Aufgabe 10  Wertetafeln 1 𝕀  𝕋  𝕃

Prüfe, welche Wertetafel zu einer linearen Funktion gehört.
Zusatz (aus BPE 3.5): Ermittle gegebenenfalls die Gleichung der Geraden.

1. 	-3	-2	-1	0
   	-25	-20	-15	-10

2. 	-1	0	1	2
   	-2	0	2	4

3. 	-1	0	1	2
   	1	2	4	8

Aufgabe 10  Lösen von linearen Ungleichungen 𝕀  𝕋  𝕃

Bestimme jeweils grafisch und rechnerisch die Lösungsmenge:

Aufgabe 11  Lösung zweier Gleichungen 𝕀  𝕋  𝕃

Gegeben sind die beiden Gleichungen

Gib an, ob es ein Zahlenpaar  gibt, das für beide Gleichungen eine Lösung darstellt?

Aufgabe 11  Lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen 𝕀  𝕋  𝕃

Eine zweistellige Zahl wird um 18 kleiner, wenn man ihre Ziffern vertauscht. Die Zahl ist so groß wie das Siebenfache ihrer Quersumme. Ermittle die Zahl.

Hinweis: Die Quersumme ist die Summe aller Ziffern einer mehrstelligen Zahlen. Zum Beispiel wäre die Quersumme von 108: 1+0+8=9

Aufgabe 5  Quadratische Gleichungen 𝕀  𝕋  𝕃

Berechne die Lösungsmenge in .

Aufgaben mit Lösungsformel:

1.a)  
1.b)   

2.a)  
2.b)   

3.a)  
3.b)   

Gleichung:  
Jede quadratische Gleichung kann mit dieser Formel gelöst werden:
Lösungsformel:  
Diskriminante:

Sonderfälle:

4.a)  
4.b)   

5.a)  
5.b)   

6.a)  
6.b)   

Jede Aufgabe kann auch mit Hilfe der p-q-Formel gelöst werden (siehe Stolpersteine).

Aufgabe 5  Zuordnungsaufgabe quadratische Gleichungen 𝕀  𝕋  𝕃

Ordne den Gleichungen die richtige(n ) Lösung(en) aus den Auswahlmöglichkeiten zu. Trage dazu a), b) und/oder c) in das Lösungsfeld ein.

Gleichung	Auswahlmöglichkeiten	Lösungsfeld
1)	a) -3 b) 3 c) keine Lösung
2)	a) -0,5 b) 0 c) 0,5
3)	a) 1 b) 0 c) 4
4)	a) -2 b) 2 c)-1,5
5)	a) -2,4 b) -1 c) 1
6)	a) 1 b) 6 c) keine Lösung

Aufgabe 5  Leos Lösung 𝕀  𝕋  𝕃

Die Gleichung  war als Hausaufgabe zu lösen.
Leo behauptet:
Was hältst du von seiner Lösung?

Aufgabe 5  Richtig oder falsch? 𝕀  𝕋  𝕃

Wähle die richtige(n ) Aussage(n ) aus und begründe deine Entscheidung.

Wie viele Lösungen hat die folgende quadratische Gleichung?

☐ Eine Lösung: , da
☐ Zwei Lösungen: , da beides zum Quadrat  ergibt
☐ Keine Lösung, da die Diskriminante negativ ist.
☐ Keine Lösung, da man die Wurzel aus Null nicht ziehen kann. 

Aufgabe 6  Familientreffen 𝕀  𝕋  𝕃

Familie Müller trifft sich jedes Jahr an Heilig Abend zum gemeinsamen Weihnachtsfest. Jeder kommt mit vielen Geschenken und unter dem Weihnachtsbaum wird es langsam eng.
Bei der Bescherung werden insgesamt 306 Geschenke ausgepackt, denn jeder hat für jedes Familienmitglied genau ein Geschenk mitgebracht.
Wie viele Familienmitglieder treffen sich zum Weihnachtsfest? Begründe deinen Lösungsweg.

Aufgabe 9  Nullstellen 𝕀  𝕋  𝕃

Begründe, welche der folgenden Behauptungen wahr oder falsch sind. 

1. Eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt P(3|4) schneidet die x-Achse nicht. 
2. Eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt P(15|30) schneidet die x-Achse zwei Mal. 

Aufgabe 9  Koordinaten ablesen 𝕀  𝕋  𝕃

Die Abbildung zeigt die Parabel mit der Gleichung

1. Für welche Werte gilt ? 
2. Welcher y-Wert gehört zu ? 
3. Bei welchem x-Wert hat der zugehörige Parabelpunkt den größten y-Wert?

Aufgabe 9  Wertetabelle 𝕀  𝕋  𝕃

Gegeben ist die folgende Wertetabelle einer Parabel:

1. Vervollständige die Wertetabelle.
2. Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel. 
3. Gib zwei Eigenschaften der Parabel an. 

Aufgabe 10  Scheitelpunkt  𝕀  𝕋  𝕃

Begründe, welche der folgenden Behauptungen wahr oder falsch sind.

1. Eine nach oben geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt P(3|4) schneidet die x-Achse nicht. 
2. Eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt P(15|30) schneidet die x-Achse zwei Mal.

Aufgabe 13  Wurf 𝕀  𝕋  𝕃

Ein Kugelstoßer stößt eine Eisenkugel. Die Bahn der Kugel ist eine Parabel.

Die Gleichung    beschreibt die Bahn.
 gibt den Abstand vom Abwurf in Meter an,  ist die Höhe über dem Boden.

Wie weit stößt der Kugelstoßer?

Aufgabe 14  Nullstellen 𝕀  𝕋  𝕃

Welche der Zahlen  sind Nullstellen der Parabel mit der Gleichung ?

Aufgabe 14  Parabelgleichung bestimmen 𝕀  𝕋  𝕃

Gib eine zugehörige Parabelgleichung an.

1. Eine Parabel schneidet die x-Achse an den Stellen  und .
2. Eine Parabel schneidet die x-Achse an der Stelle .

Aufgabe 14  Theorie Schnittpunkt Parabel und Gerade 𝕀  𝕋  𝕃

Kreuze jeweils an, ob die Aussage richtig oder falsch ist.
Stelle die falschen Aussagen richtig!

1. Eine Gerade, die eine Kurve K berührt, nennt man Tangente an K.
   ☐ richtig       ☐ falsch
2. Wenn bei der Schnittpunktberechnung von Gerade und Parabel die Diskriminante null wird, dann besitzen die beiden Kurven keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
   ☐ richtig       ☐ falsch   
3. Eine Parabel und eine Gerade schneiden sich, wenn bei der Schnittpunkt-berechnung entweder die Diskriminante positiv oder null wird.
   ☐ richtig       ☐ falsch   
4. Eine Gerade, die eine Parabel zweimal schneidet, heißt Sekante.
   ☐ richtig       ☐ falsch
5. Jede Parabel, die oberhalb einer Geraden liegt kann verschoben werden, so dass sie einen oder auch zwei Schnittpunkte mit der Geraden hat.
   ☐ richtig       ☐ falsch

Aufgabe 18  Flächeninhalt eines Dreiecks 𝕀  𝕋  𝕃

Der Punkt  ist der Eckpunkt eines zur y-Achse symmetrischen Dreiecks mit der Spitze im Ursprung. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

Aufgabe 18  Richtig oder falsch? 𝕀  𝕋  𝕃

Wähle die richtige(n ) Aussage(n ) aus und begründe deine Entscheidung.

Ein quaderförmiges Schwimmbecken mit der Länge , der Breite  und der Tiefe  soll gefliest werden. Nach welcher Formel kann die zu fliesende Fläche berechnet werden?

☐
☐
☐
☐

Aufgabe 20  Bakterienwachstum 𝕀  𝕋  𝕃

E-Coli-Bakterien verdoppeln ihre Anzahl alle 20 Minuten.
Nehmen wir an, dass am Anfang 100 Bakterien vorhanden sind.

Wie entwickelt sich die Bakterienzahl dann in den ersten 2 Stunden?

Bitte fertige eine Wertetafel für diesen Zeitraum an.

Aufgabe 21  Richtig oder falsch? 𝕀  𝕋  𝕃

Wähle die richtige(n ) Aussage(n ) aus und begründe deine Entscheidung.

☐ Richtig, weil .
☐ Falsch, weil die Hypotenuse länger ist als die Gegenkathete.
☐ Richtig, weil die Länge der Hypotenuse durch die Länge der Gegenkathete dividiert wird.
☐ Falsch, weil der Sinuswert eines Winkels immer kleiner oder gleich 1 ist.