Mathebrücke Anforderungsbereich III

Aufgabe 4  Zinsversteuerung 𝕃

Du möchtest ein Kapital von 10.000 € auf 20 Jahre anlegen. Die Bank schlägt dir zwei Anlagevarianten vor:
Anlage A bringt eine jährliche Verzinsung von 8 %. Von diesen Zinsen werden jährlich bei der Gutschrift sofort 25% Steuern abgezogen.
Anlage B bringt ebenfalls eine jährliche Verzinsung von 8 %. Die Steuer von 25 % auf die Zinserträge wird jedoch erst am Ende der Anlagezeit abgezogen.

1. Begründe für welche Anlagevariante du dich entscheiden würdest? Entscheide zuerst ohne zu rechnen. Berechne dann den Unterschied der beiden Varianten.
2. Berechne, wie groß der Unterschied wäre, wenn der Betrag als Altersvorsorge auf 50 Jahre angelegt wird?

Aufgabe 8  Koordinatensystem zeichnen 𝕃

Zeichne die fehlenden Koordinatenachsen ein und bestimme die Einheiten an den Achsen so, dass die gegebene Gerade bezüglich dieses Koordinatensystems die Gleichung \(y=-x+1\) hat.

Aufgabe 9  Schnittpunkt von Geraden 𝕃

Klara will den Schnittpunkt zweier Geraden berechnen. Nach einigen Umformungsschritten erhält sie

1. die Gleichung 0 = 3
2. die Gleichung 3 = 3

Klara schließt daraus, dass sie sich verrechnet hat. Was sagst du dazu?

Aufgabe 9  Schnittpunkt von Geraden 2 𝕃

Durch die Gleichungen \(2x+3y=4\) und \(4x-6y=4\) sind zwei Geraden gegeben.
Klara möchte deren Schnittpunkt bestimmen und beginnt zu rechnen: 

Beurteile, ob Klaras Lösungsweg zum Ziel führt.

Aufgabe 9  Schnittpunkt von Geraden 2 𝕃

Gegeben sind die Funktionen \(f\) mit \(f(x) = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}\) und \(g\) mit \(g(x) = -3x - 3\).

Prüfe, ob sich das Schaubild von \(f\) und die Orthogonale zum Schaubild von \(g\) durch \(P\left(-3 \left| \frac{28}{3}\right.\right)\) im ersten Quadranten schneiden.

Aufgabe 11  Aufgabe zu Funktionsvorschriften 𝕃

Gegeben sind die Funktionen \(f\) mit \(f(x) = \frac{1}{8}x - \frac{3}{2}\) und \(g\) mit \(g(x) = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{8}\).

1. Bestimme den Wert von \(x\), wenn gilt: \(f(x) = -\frac{5}{8}\)
2. Berechne den Wert von \(x\), wenn gilt: \(f(7) = g(x)\)? 
3. Ermittle den Wert von \(c\), wenn gilt: \(f(5) + c = g(6)\).

Aufgabe 11  Richtig-Falsch-Aufgaben zu Funktionsvorschriften 𝕃

Gegeben sind die Funktionen \(f\) durch \(f(x) = -3x+7\) und \(g\) durch \(g(x) = \frac{1}{3}x-2\).
Kreuze jeweils an, ob die Aussage richtig oder falsch ist.
Formuliere die falschen Aussagen zu einer richtigen Aussage um.

1. Die Funktion \(f\)  nimmt an der Stelle 3 den Funktionswert 1 an.
   ☐ richtig       ☐ falsch
2. Es gilt \(g(9) = 1\).
   ☐ richtig       ☐ falsch
3.  Das Schaubild der Funktion \(f\)  schneidet die x-Achse an der Stelle \(\frac{7}{3}\).
   ☐ richtig       ☐ falsch   
4. Die Funktionen \(f\) und \(g\) nehmen an der Stelle \(x = 2,5\) denselben Funktionswert an.
   ☐ richtig       ☐ falsch
5. Die Schaubilder der Funktionen stehen senkrecht aufeinander.
   ☐ richtig       ☐ falsch
6. Die Funktion \(f\) ordnet dem Wert 5 eine kleinere Zahl zu als die Funktion \(g\).
   ☐ richtig       ☐ falsch
7. Die Funktion \(g\) ordnet allen Werten größer 6 negative Funktionswerte zu.
   ☐ richtig       ☐ falsch   

Aufgabe 11  Länge und Mittelpunkt einer Strecke 𝕃

In nachfolgendem Koordinatensystem sind mehrere Punkte eingezeichnet.

1. Bestimme die Länge der Strecken \(BE\) und \(BD\). 
2. Gib die Koordinaten des Mittelpunktes \(M\) der Strecke \(EA\) an.  
   Überprüfe, ob die Gerade durch den Punkt \(D\) mit Steigung -1 durch \(M\) geht. 
3. Berechne den Umfang des Dreiecks \(BAC\). 

Aufgabe 11  Länge und Mittelpunkt einer Strecke 2 𝕃

1. Berechne die fehlenden Koordinaten, wenn \(M\) der Mittelpunkt der Strecke \(P_1P_2\) ist:  \(P_1(-3|2); \ \ P_2(0|0);\ \ M( ?|? )\)
   \([P_1(4|?); \ \ P_2(-2|5);\ \ M(?|3,5)] \)
2. Gegeben sind die Punkte \(A(3|-5)\) und \(B(7|2)\). Bestimme die Gleichung der Geraden mit \(m = 0,5\), die durch den Mittelpunkt der Strecke \(AB\) verläuft. 
3. Zeige, dass die Entfernung des Punktes \(A\) vom Schnittpunkt der Geraden aus b) mit der y-Achse 10 beträgt.

Aufgabe 11  Tinas Orthogonale 𝕃

Tina hat folgende Hausaufgabe bekommen: Zwei Geraden stehen orthogonal zueinander und schneiden sich im Punkt \(P(-3|-2)\). Bestimmen Sie mögliche Geradengleichungen.

Schau dir an, was sie in ihr Heft notiert hat:

1. Erläutere kurz, warum Tina die Steigung \(m = 5\) frei wählen durfte.
2. Bestimme für Tina die zugehörige Orthogonale.

Aufgabe 11  T-Shirtkosten 𝕃

Bei der Produktion von T-Shirts mit aufwendigem Druck und aufgenähten Strasssteinen fallen in einem Unternehmen variable Stückkosten (= Kosten für die Produktion eines T-Shirts) in Höhe von 15 Euro an. Ab einer Menge von 200 T-Shirts betragen die variablen Stückkosten nur noch 11 Euro, da das Unternehmen Einkaufsrabatte nutzen kann.

1. Bestimme den Funktionsterm, der die Kosten für eine Produktionsmenge kleiner 200 Stück angibt.
   Bestimme auch den Funktionsterm für größere Produktionsmengen.
2. Zeichne den Kostenverlauf des Unternehmens in Abhängigkeit von der Produktionsmenge in ein Koordinatensystem.
3. Erläutere, wie sich das Schaubild verändern würde, wenn in dem Unternehmen fixe Kosten, die unabhängig von der produzierten Menge sind, in Höhe von 600 Euro anfallen würden.

Aufgabe 11  Fruchtsafttank 𝕃

Ein Fruchtsafthersteller nutzt zylinderförmige Edelstahltanks zur Zwischenlagerung von Fruchtsäften. Ein Tank fasst 6000 Liter und wird gleichmäßig gefüllt. Nach 6 Minuten sind 2100 Liter im Tank, eine Viertelstunde später 4350 Liter.

1. Stelle die Füllmenge in Abhängigkeit von der Zeit in einem Schaubild dar.
2. Bestimme, wie viel Liter zu Beginn noch im Tank waren.
3. Berechne, wie lange es dauert, bis der Tank voll ist.

Aufgabe 11  Geradenbüschel 2 𝕃

Gegeben ist das nebenstehende "Geradenbüschel" (es sind nur 5 von unendlich vielen Geraden eingezeichnet):

1. Beschreibe, was diese Geraden gemeinsam haben.
2. Beurteile, welche der folgenden Geraden zum Büschel gehören und welche nicht. Begründe deine Antwort.

Aufgabe 5  Vielfachheit von Lösungen 𝕃

Für welche Werte von \(a\) besitzt die Gleichung
\(x^2 - 2x + a = 0\)
zwei Lösungen, eine Lösung bzw. keine Lösung?

Aufgabe 5  Richtig oder falsch 𝕃

Sind folgende Umformungen von Zeile zu Zeile richtig?
Begründe, wenn die Umformung falsch ist.

Aufgabe 6  Differenz von Quadratzahlen 𝕃

Zeige, dass allgemein gilt:

Die Differenz der Quadrate von zwei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist immer die Summe der beiden Zahlen.

Aufgabe 6  Wahr oder falsch? 𝕃

Welche Aussage ist wahr? Begründe!

1. Eine quadratische Gleichung hat immer zwei Lösungen.
2. Die Lösungen einer quadratischen Gleichung entsprechen den Schnittstellen einer Parabel mit der x-Achse.
3. Die Gleichung \(x^2 + a = 0\) hat keine Lösung.

Aufgabe 6  Rote Rosen 𝕃

Tim kauft für seine Freundin rote Rosen für 60 €.
In der nächsten Woche kauft er wieder rote Rosen für 60 €. Weil eine Rose jetzt aber 0,40 € mehr kostet, bekommt er 5 Rosen weniger.
Was kostete eine Rose in der ersten Woche?
Wie viele Rosen bekam er in der ersten Woche für 60 €?

Aufgabe 11  Parabeln finden 𝕃

Gesucht sind Parabeln, die durch den Punkt P gehen und die gegebene Gerade schneiden, berühren oder keinen Punkt mit ihr gemeinsam haben.

1. Beschreibe deine Vorgehensweise.
2. Gib zu jedem der drei Fäll die Anzahl der möglichen Parabeln an.
3. Bestimme für jeden Fall eine Gleichung einer Parabel. Schildere, wie du deine Ergebnisse überprüfen kannst.
4. Hugo behauptet, der Scheitel einer berührenden Parabel läge auf der Geraden. Nimm dazu Stellung.
   

Aufgabe 11  Gegenseitige Lage von Parabel und Gerade 𝕃

Überprüfe folgende Aussage:
Eine nach unten geöffnete Normalparabel mit dem Scheitel \(S(1|1)\) hat mit der Geraden \(g: y = x + 1\) einen gemeinsamen Schnittpunkt.

Aufgabe 11  Gegenseitige Lage von zwei Parabeln 𝕃

Gegeben sind folgende Wertetabellen. Sie gehören jeweils zu einer Parabel.

Untersuche, wie die Parabeln zueinander liegen.

Aufgabe 13  Beste Kinopreise 𝕋  𝕃

Ein Kino verlangt einen Eintrittspreis von 7€ pro Filmvorführung. Im Durchschnitt kommen  dann ca. 100 Gäste in die Vorstellung. Durch verschiedene Aktionsprogramme hat der Kinobesitzer festgestellt, wenn er den Eintrittspreis um 0,50 € senkt erscheinen ungefähr 10 Kinogäste mehr pro Vorführung. Senkt der Kinobesitzer den Preis sogar um 1 €, so erscheinen 20 Besucher mehr usw.
Gleiches gilt für eine Preiserhöhung. Eine Preissteigerung um 0,50€ lässt 10 Gäste weniger erscheinen, eine Preissteigerung um 1€ 20 Zuschauer weniger, um 1,50€ 30 Zuschauer weniger usw.

Begründe wie hoch der Kinobesitzer den Eintrittspreis festsetzen sollte.

Aufgabe 14  Parabeln zeichnen 𝕃

Zeichne und skaliere jeweils ein Koordinatensystem, sodass jede der folgenden Parabeln die Normalparabel darstellt (mit der Parabelschablone gezeichnet werden kann). 

\(p: y=x^2+3\)
\(q: y=(x+1)^2\)
\(f: y=4x^2\)
\(g: y=-0,5x^2+2\)
\(h: y=1,5(x-2)^2\)
\(m: y=1,5(x-2)^2-4,5\)

Aufgabe 14  Sekante, Tangente, Passante in Abhängigkeit von t 𝕃

Gegeben sind die Funktionen \(f\) mit \(f(x) = tx^2-2\) und \(g\) mit \(g(x) = 0,5x +1\).
Für welche Werte von \(t\) ist die Gerade eine Tangente, eine Sekante oder eine Passante?

Aufgabe 14  Brennpunkt 𝕃

Zeichne die Parabel mit der Gleichung \(y=x^2\) in ein Koordinatensystem. Wenn du eine Parabelschablone benutzt, findest du in der Nähe des Scheitels meist ein kleines Loch, mit dem du den Punkt ) \(F\left(0\bigl|\frac{1}{4}\right)\) markieren kannst. Dieser Punkt ist der sogenannte Brennpunkt der Parabel. Zeichne den Punkt \(F\) ein und außerdem die waagerechte Gerade \(y=-\frac{1}{4}\)

Berechne für verschiedene Parabelpunkte den Abstand von \(F\) und den Abstand von der waagerechten Geraden.   
Was fällt auf?

Die Aufgabe für Experten:  
Nimm als Parabelpunkt \(P(a|a^2)\). Berechne den Abstand von \(F\) und den Abstand von der waagerechten Geraden. Kannst du die Vermutung von oben bestätigen?

Aufgabe 14  Größtes rechteckiges Grundstück 𝕃

WESTERN TRIBUNE 3RD JULY 1898
LAND-RACE AM ARKANSAS-RIVER

Dodge City. Die Western Pacific Railroad Compagny verschenkt morgen ein großes Grundstück am Arkansas-River. Das Gelände erhält derjenige, der es schafft, mit 500 m Zaun das größte rechteckige Grundstück abzustecken. Das Grundstück schließt direkt an das Ufer des Flusses an und soll von drei Seiten eingezäunt werden. Die Interessenten mögen sich bei Morgengrauen am Fluss einfinden.

Aufgabe 15  Flächeninhalt eines Dreiecks 𝕃

Die Punkte \(A(-2|-3), B(7|3)\) und \(C(0|7)\) sind die Ecken eines Dreiecks \(ABC\). Zudem ist der Punkt \(H(4|1)\) gegeben.

1. Zeichne das Dreieck \(ABC\) und den Punkt \(H\) in ein Koordinatensystem und zeige durch Rechnung, dass der Punkt \(H\) auf der Seite \(AB\) liegt.
2. Prüfe mit Hilfe des Satzes des Pythagoras, ob das Dreieck \(BCH\) rechtwinklig ist.
3. Berechne die Fläche des Dreiecks \(ABC\).

Aufgabe 15  Rechtwinkliges Dreieck 𝕃

Die Punkte \(A(2|2), B(0,5|1)\) und \(C(4|-1)\) bilden ein Dreieck.
Zeige, dass dieses Dreieck rechtwinklig ist.

Aufgabe 15  Dreiecksseiten 𝕃

Begründe, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenlängen größer als die Hypotenusenlänge ist.

Aufgabe 18  Dreiecksfläche 𝕃

Gegeben sind die Punkte \(A(-1|1), B (5|2) \) und \(C(2|4)\).

1. Zeichne das Dreieck \(\Delta ABC\) in ein Koordinatensystem. 
2. Zeichne das kleinste achsenparallele Rechteck, das das Dreieck \(\Delta ABC\) enthält, in das Koordinatensystem und berechne dessen Flächeninhalt.
3. Berechne mit Hilfe von b) den Flächeninhalt des Dreiecks \(\Delta ABC\).
4. Beschreibe die Lösungsschritte, die notwendig sind, wenn man die Dreiecksfläche mit Hilfe der Formel \(F=\frac{1}{2}g\cdot h_g\) berechnen wollte.

Aufgabe 7  Potenzen mit negativen Exponenten 𝕃

Tim überlegt: Wenn \(2^{-1}\) dasselbe ist wie  \(\frac{1}{2}\), dann ist doch \(3^{-2}\) dasselbe wie \(\frac{2}{3}\).
Welches Muster liegt dieser Vorgehensweise zugrunde? Was wäre demnach \(10^{-2}\)?
Begründe, ob Tim Recht hat.

Aufgabe 20  Bakterienwachstum 5 𝕃

E-Coli-Bakterien verdoppeln ihre Anzahl alle 20 Minuten.
Wir nehmen an, dass am Anfang 100 Bakterien vorhanden sind.

Beschreibe, wie sich die Bakterienzahl dann in den ersten 2 Stunden entwickelt.

1. Stelle die Entwicklung für diesen Zeitraum mithilfe einer Wertetafel dar.
2. Die Entwicklung wird mithilfe einer Funktion beschrieben. Bestimme einen Funktionsterm (eine Zeiteinheit = 20 Minuten).
3. Der Funktionsterm in b) hat die Einheit 20 Minuten, was ungewöhnlich ist. Ermittle einen Funktionsterm in der Zeiteinheit Stunde.

Aufgabe 21  Steigung einer Straße 𝕃

Die Steigung einer Straße wird auf Verkehrsschildern in Prozent angegeben. Dabei bedeutet z.B. eine Steigung von 12%, dass die Straße auf 100 Meter Horizontalabstand 12 Meter ansteigt:
 

Alfons legt mit seinem Fahrrad bei einem Anstieg eine Strecke von 2 km zurück. Sein Tacho, der auch die Höhe messen kann, zeigt in diesem Abschnitt eine Höhendifferenz von 184 m an.
Oben angekommen erzählt er Klara, die auf ihn gewartet hat: "Auf den letzten zwei Kilometern war die durchschnittliche Steigung genau 9,2 %!"
Klara meint: "Das stimmt nicht! Die Steigung war größer!"

1. Nimm Stellung zu den Aussagen von Alfons und Klara.
2. Berechne den Steigungswinkel der Straße (zur Horizontalen gemessen).
3. Bestimme den Horizontalabstand, den Alfons in diesem Abschnitt zurückgelegt hat.
4. Klara hat mit dem Horizontalabstand aus c) die Steigung berechnet. Bestimme die Abweichung der Ergebnisse von Klara und Alfons.
5. Der Höhenmesser von Alfons misst nur auf 2 Meter genau. Die zurückgelegte Strecke wird auf 10 Meter genau angegeben. Untersuche, wie sich dies auf die Genauigkeit der Steigung auswirkt.
   Beurteile, welcher Fehler sich hier stärker auswirkt, die Messungenauigkeit des Tachos oder der falsche Horizontalabstand in der Rechnung von Alfons.