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Zuletzt geändert von akukin am 2024/05/23 18:30
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1 Der gegebene Graph besitzt die allgemeine Funktionsgleichung {{formula}} g(x)=a\cdot \sin(b(x-c))+d {{/formula}}. Die Amplitude {{formula}}a{{/formula}} beträgt 4 und die Verschiebung in y-Richtung {{formula}}d=-2{{/formula}}. Die Periodenlänge {{formula}}p{{/formula}} beträgt 8, d.h. für den Streckfaktor in x-Richtung ergibt sich {{formula}} b=\frac{2\pi}{8}=\frac{\pi}{4} {{/formula}}. Zudem lässt sich ablesen, dass vom Sinus ausgehend der Graph um {{formula}}c=-3{{/formula}} in x-Richtung verschoben wurde.
2 Demnach ergibt sich als möglicher Funktionsterm {{formula}}g(x)=4 \sin\left(\frac{\pi}{4}(x+3)\right)-2 =4 \cos\left(\frac{\pi}{4}(x+3)-\frac{\pi}{2}\right)-2=4 \cos\left(\frac{\pi}{4}(x+3)-\frac{\pi}{2}\right)-2 = 4 \cos\left(\frac{\pi}{4}(x+1)\right)-2{{/formula}}.
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4 //Anmerkung: Aufgrund der Periodität der Sinus-/Kosinusfunktion ist der Funktionsterm nicht eindeutig. Es gilt nämlich für den Parameter {{formula}} c: c= -3+k\cdot 8{{/formula}} mit {{formula}}k \in \mathbb{Z}{{/formula}}. //
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7 1. Um die Funktion {{formula}}f(x)= \cos(x)-0,5{{/formula}} in den Funktionsgraph zu überführen, muss man den Graphen mit dem Faktor {{formula}}a=4{{/formula}} in y-Richtung strecken:
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9 [[image:cos(x)-0,5.png||width="350" style="float: left"]][[image:4cos(x)-0,5.png||width="350" style="float: right"]]
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28 anschließend um den Faktor {{formula}}\frac{1}{b}=\frac{4}{\pi}{{/formula}} in x-Richtung strecken:
29 [[image:4cos(x)-0,5.png||width="350" style="float: left"]][[image:4cos((π4)x)-0.5.png||width="350" style="float: right"]]
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47 daraufhin um {{formula}}c=-1{{/formula}} in x-Richtung verschieben:
48 [[image:4cos((π4)x)-0.5.png||width="350" style="float: left"]][[image:4cos((π4)x 1)-0.5.png||width="350" style="float: right"]]
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66 und um -1,5 in y-Richtung:
67 [[image:4cos((π4)x 1)-0.5.png||width="350" style="float: left"]][[image:4cos((π 4)x 1)-2.png||width="350" style="float: right"]]
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73 {{formula}}\longrightarrow{{/formula}}
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87 2. Um die Funktion {{formula}}f(x)=\sin(x)-\frac{\pi}{2} {{/formula}} in den Funktionsgraph zu überführen, muss man den Graphen mit dem Faktor {{formula}}a=4{{/formula}} in y-Richtung strecken, um den Faktor {{formula}}\frac{1}{b}=\frac{4}{\pi}{{/formula}} in x-Richtung strecken und um {{formula}}c=-3{{/formula}} in x-Richtung verschieben und um {{formula}}-2+\frac{\pi}{2}\approx -0,43 {{/formula}} in y-Richtung.
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89 3. Um die Funktion {{formula}}f(x)=-4\sin(x)=4\sin(-x){{/formula}} in den Funktionsgraph zu überführen, um den Faktor {{formula}}-\frac{1}{b}=-\frac{4}{\pi}{{/formula}} in x-Richtung strecken und um {{formula}}c=-3{{/formula}} in x-Richtung verschieben und um -2 in y-Richtung.