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Lösung Ebbe und Flut

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/08/07 21:35
  1. Ausgehend von der allgemeinen Form der Sinusfunktion \(h(t) = a \cdot \sin(b(t - c)) + d\) lesen wir ab/bestimmen:
    Amplitude (\(a\)): \(3{,}2\)
    Periodenlänge (\(p\)): \(b = \frac{\pi}{6} \implies p = \frac{2\pi}{b} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{6}} = 12\)
    Verschiebung in y-Richtung (\(d\)): 4
    Verschiebung in x-Richtung (\(c\)): 1
  2. Amplitude: Sie gibt an, wie weit der Meeresspiegel vom Mittelwert nach oben (bei Flut) und nach unten (bei Ebbe) maximal abweicht.
    Periodenlänge: Sie gibt an, wie lange ein voller Gezeitenzyklus dauert. Es vergehen also genau 12 Stunden, bis sich das Muster wiederholt.
    Verschiebung in y-Richtung: Gibt an, um welchen Wert Ebbe und Flut schwanken (mittlerer Wasserstand).

  3. Um 4:00 Uhr (\(t = 4\)):
    \(h(4) = 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}(4 - 1)\right) + 4 = 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{3\pi}{6}\right) + 4 = 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 4= 3{,}2 \cdot 1 + 4 = \mathbf{7{,}2\text{ m}}\)

    Um 10:20 Uhr \(\left(t = 10 + \frac{20}{60} = \frac{31}{3}\right)\):
    \(h\left(\frac{31}{3}\right) = 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\left(\frac{31}{3} - 1\right)\right) + 4 = 3{,}2 \cdot \sin\left(\frac{14\pi}{9}\right) + 4\approx 3{,}2 \cdot (-0{,}9848) + 4 = -3{,}15 + 4 = \mathbf{0{,}85\text{ m}}\)

  4. Höchster Wasserstand:
    Den höchsten Wasserstand können wir bestimmen, indem wir zu der y-Verschiebung die Amplitude addieren: 4m+3,2m=7,2m.
    Aus der vorherigen Teilaufgabe wissen wir, dass zum Zeitpunkt \(t=4\), also um 4:00 Uhr der Wasserstand 7,2m erreicht. Da die Periode 12 beträgt wissen wir zudem, dass der Wasserstand 12 Stunden später, also um 16:00 Uhr (\(t=16\)) erreicht wird.

    Niedrigster Wasserstand:
    Wir bestimmen den niedrigsten Wasserstand analog, indem wir von der y-Verschiebung die Amplitude subtrahieren: 4m-3,2m=0,8m.
    Um einen Zeitpunkt zu bestimmen, an dem die Höhe 0,8m beträgt, setzen wir \(h(t)=0{,}8\):
    \(0{,}8= 3{,}2\cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 1)\right) + 4 \ \Leftrightarrow -3{,}2= 3{,}2\cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 1)\right) \ \Leftrightarrow \sin\left(\frac{\pi}{6}(t - 1)\right) = -1 \)

    Die Sinusfunktion nimmt erstmals den Wert \(-1\) an, wenn das Argument \(\frac{3}{2}\pi\) ist, das heißt : \( \frac{\pi}{6}(t - 1)=\frac{3}{2}\pi \Leftrightarrow t=10\)
    Somit wird um 10 Uhr und um 22 Uhr (12 Stunden später) der niedrigste Wasserstand erreicht.