Zum Inhalt springen

Lösung Ebbe und Flut

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/08/07 17:40

  1. Die Flut tritt dann auf, wenn der Wasserstand am höchsten ist, das heißt wenn die Kosinusfunktion ihr Maximum annimmt. Maximal wird die Kosinusfunktion, wenn das Argument ein Vielfaches von \(2\pi\) ist.
    Das heißt, es muss gelten
    \(\frac{\pi}{6}t=k\cdot 2\pi\) mit \(k\in\mathbb{Z}\).
    Umgestellt nach \(t\) ergibt sich \(t=k\cdot 2\pi\cdot \frac{6}{\pi}=12\cdot k\).

    Einsetzen verschiedener Werte für \(k\) ergibt:
    \(k=0: \ t=0 \ \rightarrow \ \text{0 Uhr}\)
    \(k=1: \ t=12 \ \rightarrow \ \text{12 Uhr}\)
    \(k=2: \ t=24 \ \rightarrow \ \text{24 Uhr bzw. 0 Uhr}\)
    Die Flut tritt somit täglich um 0 Uhr und um 12 Uhr auf, also alle 12 Stunden.

  2. Das Wasser fließt an den Wendestellen der Funktion am schnellsten, da an den Wendestellen die größte Steigung  vorliegt. Wir betrachten dabei \(t \in [0;24]\).

    Bei einer trigonometrischen Funktion liegen die Wendestellen genau zwischen den Extremstellen. Aus a) wissen wir, dass die Maximalstellen bei \(t = 0, t=12\) und \(t = 24\) liegen, also liegen die Minimalstellen genau dazwischen bei \(t = 6\) und \(t = 18\).
    Die Wendestellen liegen wiederum genau zwischen den Extremstellen, das heißt bei \(t=3, \ t=9, \ t=15\) und \(t=21\).

    Alternativer Lösungsweg:
    Wir bilden die ersten beiden Ableitungen mit Hilfe der Kettenregel:
    \(f'(t) = -\frac{\pi}{2} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)\)
    \(f''(t) = -\frac{\pi^2}{12} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)\)

    Setzt man die zweite Ableitung gleich null, erhält man:
    \(-\frac{\pi^2}{12} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) = 0\)

    Die Kosinusfunktion wird null, wenn das Argument ein ungerades Vielfaches von \(\frac{\pi}{2}\) ist. Somit muss gelten:
    \(\frac{\pi}{6}t = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi\)

    Multipliziert man die Gleichung mit \(\frac{6}{\pi}\), ergibt sich nach \(t\) aufgelöst:
    \(t = 3 + 6 \cdot k\)

    Für das betrachtete Intervall \(t \in [0;24]\) ergeben sich durch Einsetzen der ganzen Zahlen \(k = 0, 1, 2, 3\) die Zeitpunkte \(t=3, \ t=9, \ t=15\) und \(t=21\).

    Die dritte Ableitung lautet \(f'''(t) = \frac{\pi^3}{72} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)\). An den gefundenen Stellen gilt \(f'''(t) \neq 0\).
    Somit liegen bei \(t=3, \ t=9, \ t=15\) und \(t=21\) Wendestellen vor und das Wasser fließt an den Zeitpunkten am schnellsten.

  3. Die Änderungsrate der Meereshöhe wird durch die erste Ableitungsfunktion beschrieben, das heißt durch
    \(f'(t) = -\frac{\pi}{2} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)\).

    Das Wasser steigt an, wenn die Änderungsrate positiv ist. Es muss also gelten: \(-\frac{\pi}{2} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) > 0\) und somit
    \(\sin\left(\frac{\pi}{6} t\right) < 0\) (Da der Vorfaktor \(-\frac{\pi}{2}\) negativ ist, muss der Sinusterm selbst negativ sein, damit das Produkt insgesamt positiv wird).

    Der Sinusterm wird in den Intervallen \([6; 12]\) und \([18; 24]\) negativ. Das Wasser steigt also zwischen 6 Uhr und 12 Uhr sowie 18 Uhr und 24 Uhr an.