BPE 11.2 Verkettung

1  Transformationen  (6 min) 𝕃

Die Standard Sinusfunktion wird zunächst um den Faktor ½ horizontal gestreckt und dann um 3 nach rechts verschoben. So entsteht die Funktion f mit \(f(x)=\sin(2(x-3))\). Diese Funktion kann als Verkettung dreier Operationen gedeutet werden:

Erst wird 3 abgezogen, dann wird mit 2 multipliziert und dann der Sinus "angewendet".

Erkläre, warum die Verkettung anders herum zu sein scheint, als die Reihenfolge der Transformationen!

2  Verkettungen bilden  (7 min)

Bestimme die Verkettung \( f =u \circ v\) und \( g = v \circ u\) der folgenden Funktionen:

1. \(u(x)=2+x\) ;  \(v(x)=3x-2\)
2. \(u(x)=\frac{1}{x}\) ;  \(v(x)=x+3\)
3. \(u(x)=x^2-2\) ;  \(v(x)=(x-2)^2\)
4. \(u(x)=e^x\) ;  \(v(x)=1-x\)
5. \(u(x)=cos(x)\) ;  \(v(x)=2x+1\)
6. \(u(x)=\frac{3}{x}\) ;  \( v(x)=\frac{3}{3-x^2} \)

3  Verkettungen analysieren  (5 min)

Für die verkette Funktion f soll gelten f = u ° v. Ermittle passende Funktionen u und v.

1. \(f(x)=(x-1)^3\)
2. \(f(x)=sin^2(x)\)
3. \(f(x)=(sin(x))^2\)
4. \(f(x)=e^{3x+2}\)
5. \(f(x)=\sqrt{2-x^3}\)
6. \(f(x)=\frac{5}{x^3}\)
     

4  Verkettung aus zwei verschiedenen Funktionen   (5 min)

Ermittle zwei verschiedene Paare von Funktionen \(u\) und \(v\), deren Verkettung die Funktion \(f\) ergibt, sodass \(f=u \circ v\).
 
  

5  Verkettung grafisch bestimmen  (15 min) 𝕃

• \(f(x)\) und \(g(x)\) sind Funktionen mit \(x \in \mathbb{R}\)
• \(K_f\)  bzw. \(K_g\) sind die Graphen der beiden Funktionen (siehe Schaubild)
• \(h(x) = g(f(x))\)

1. Zeichne den Graphen \(K_h\).
2. Beschreibe, wie der Graph von \(f(g(x))\) aus \(K_h\) entsteht.