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Version 42.1 von Martin Monath am 2026/05/12 17:36
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Martin Monath 39.1 1 (%class="abc"%)
Martin Monath 42.1 2 1. Lösung
Martin Monath 41.1 3 [[image:MatheArbeitsheft_11.3_1_LSG.png||class=center width=450]]
Martin Monath 40.1 4
Martin Monath 5.1 5 1. Funktionsterm aufstellen:
6 Ansatz: Scheitelform einer Parabel: {{formula}}f(x)=a\cdot (x-x_S)^2+y_S{{/formula}}.
7 Aus der Zeichnung: {{formula}}a=1,\ x_S=0,\ y_S=-2{{/formula}}
8 {{formula}}\Rightarrow f(x)=x^2-2{{/formula}}.
9 Rechnerische Bestimmung der Umkehrfunktion:
10 * Schritt 1: Auflösen der Funktionsgleichung nach {{formula}}x{{/formula}}:
11 {{formula}}
Martin Monath 32.1 12 \begin{align*}
Martin Monath 34.1 13 && y &= x^2-2 &\vert& +2\\
14 &\Rightarrow & y+2 &= x^2 &\vert& \sqrt{\hphantom{x}}\\
15 &\Rightarrow & \pm\sqrt{y+2} &= x &\vert& \text{nur "-" zählt wegen Definitionsbereich}\\
16 &\Rightarrow & \sqrt{y+2} &= x &&
Martin Monath 32.1 17 \end{align*}
Martin Monath 5.1 18 {{/formula}}
19 * Schritt 2: Vertauschen von {{formula}}x{{/formula}} und {{formula}}y{{/formula}}:
20 {{formula}}
Martin Monath 29.1 21 \begin{align*}
Martin Monath 35.1 22 &\Rightarrow & y &= \sqrt{x+2}\\
23 &\Rightarrow & f^{-1}(x) &= \sqrt{x+2}
Martin Monath 29.1 24 \end{align*}
Martin Monath 5.1 25 {{/formula}}
Martin Monath 37.1 26
27 Ad Anleitungsseite:
28 {{formula}}
29 \begin{aligned}
30 && g(x) &= 0 & \vert & g(x)\text{ einsetzen}\\
31 &\Rightarrow & \frac{1}{2}(x^2-4x+3) &= 0 & \vert & \cdot 2\\
32 &\Rightarrow & x^2-4x+3 &= 0 & \vert & \text{abc-Formel}\\
Martin Monath 38.1 33 &\Rightarrow & x_{1,2} &=\frac{4\pm\sqrt{4^2-4\cdot3}}{2}=\frac{4\pm2}{2} & & \\
Martin Monath 37.1 34 &\Rightarrow & x_1 &=1;\: x_2=13
35 \end{aligned}
36 {{/formula}}