Änderungen von Dokument Lösung Ableitungsregeln entdecken und begründen
Zuletzt geändert von akukin am 2025/10/23 09:40
Zusammenfassung
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... ... @@ -19,7 +19,7 @@ 19 19 \begin{align} 20 20 f(x)&=f_2(x)\circ f_1(x)=f_2(f_1(x))=f_2(m_1x+b_1) \\ 21 21 &=m_2(m_1x+b_1)+b_2 \\ 22 -&=(m_ 2m_1)x+(m_2b_1+b_2)22 +&=(m_1m_2)x+(m_2b_1+b_2) 23 23 \end{align} 24 24 {{/formula}} 25 25 ... ... @@ -62,14 +62,63 @@ 62 62 {{formula}} 63 63 \begin{align} 64 64 f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2-(m_1m_2x_0^2+(m_1b_2+m_2b_1)x_0+b_1b_2)}{x-x_0}\\ 65 -&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2-m_1m_2x_0^2-(m_1b_2+m_2b_1)x_0-b_1b_2)}{x-x_0}\\ 65 +&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2-m_1m_2x_0^2-(m_1b_2+m_2b_1)x_0-b_1b_2}{x-x_0}\\ 66 +&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2-m_1m_2x_0^2+(m_1b_2+m_2b_1)x-(m_1b_2+m_2b_1)x_0}{x-x_0}\\ 66 66 &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2(x^2-x_0^2)+(m_1b_2+m_2b_1)(x-x_0)}{x-x_0}\\ 67 67 &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2(x-x_0)(x+x_0)+(m_1b_2+m_2b_1)(x-x_0)}{x-x_0}\\ 68 -&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} (m_1m_2(x+x_0)+(m_1b_2+m_2b_1)) 69 +&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} (m_1m_2(x+x_0)+(m_1b_2+m_2b_1)) \\ 69 69 &=m_1m_2 2x_0+(m_1b_2+m_2b_1)\\ 70 70 \end{align} 71 71 {{/formula}} 72 72 73 -Somit ist {{formula}}f'(x)=m_1m_2 2x+(m_1b_2+m_2b_1){{/formula}}.74 +Somit ist {{formula}}f'(x)=2m_1m_2 x+(m_1b_2+m_2b_1){{/formula}}. 74 74 ))) 76 +1. (((Verkettung: 77 + 78 +{{formula}} 79 +\begin{align} 80 +f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x+(m_2b_1+b_2)-((m_1m_2)x_0+(m_2b_1+b_2))}{x-x_0}\\ 81 +&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x+m_2b_1+b_2-(m_1m_2)x_0-m_2b_1-b_2}{x-x_0}\\ 82 +&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x-(m_1m_2)x_0}{x-x_0}\\ 83 +&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)(x-x_0)}{x-x_0}\\ 84 +&=m_1m_2 85 +\end{align} 86 +{{/formula}} 87 + 88 +Somit ist {{formula}}f'(x)=m_1m_2{{/formula}}. 75 75 ))) 90 +))) 91 +1. (((Wir berechnen die Ableitung der Funktion {{formula}}f_i(x){{/formula}} mit dem Differenzialquotienen: 92 + 93 +{{formula}} 94 +\begin{align} 95 +f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_ix+b_i-(m_ix_0+b_i)}{x-x_0}\\ 96 +&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_ix+b_i-m_ix_0-b_i}{x-x_0}\\ 97 +&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_ix-m_ix_0}{x-x_0}\\ 98 +&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_i(x-x_0)}{x-x_0}\\ 99 +&=m_i 100 +\end{align} 101 +{{/formula}} 102 + 103 +Also ist {{formula}}f_1^\prime(x)=m_1{{/formula}} und {{formula}}f_1^\prime(x)=m_2{{/formula}}. 104 + 105 +Nun betrachten wir die einzelnen zusammengesetzten Funktionen: 106 +1. Summenfunktion: {{formula}}f'(x)\underset{b)}{=}m_1+m_2=f_1'(x)+f_2'(x){{/formula}} 107 +1. Vielfachenfunktion: {{formula}}f'(x)\underset{b)}{=}am_1=a\cdot f_1'(x){{/formula}} 108 +1. (((Produktfunktion: 109 + 110 +{{formula}} 111 +\begin{align} 112 +&f_1'(x)\cdot f_2(x)+f_1(x)\cdot f_2'(x)=m_1\cdot (m_2x+b_2)+(m_1x+b_1)\cdot m_2 \\ 113 +&=m_1m_2x+m_1b_2+m_1m_2x+b_1m_2 \\ 114 +&=2m_1m_2 x+(m_1b_2+m_2b_1) \\ 115 +&\underset{b)}{=}f'(x) 116 +\end{align} 117 +{{/formula}} 118 + 119 +))) 120 +1. Verkettung: {{formula}}(f_2'(x)\circ f_1(x))\cdot f_1'(x)= (f_2'(f_1(x))\cdot m_1 121 + =m_2m_1\underset{b)}{=}f'(x){{/formula}} 122 +))) 123 +))) 124 +1. +e) Ersetzt man in der Merkhilfe {{formula}}u(x){{/formula}} durch {{formula}}f_1(x){{/formula}} und {{formula}}v(x){{/formula}} durch {{formula}}f_2(x){{/formula}} (bzw. bei der Verkettung genau andersrum), so sieht man direkt, dass die in c) gezeigten Regeln den allgemeinenn Ableitungsregeln entsprechen.