Änderungen von Dokument Lösung Ableitungsregeln entdecken und begründen

Zusammenfassung

• Seiteneigenschaften (1 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -79,6 +79,7 @@
79	79	\begin{align}
80	80	f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x+(m_2b_1+b_2)-((m_1m_2)x_0+(m_2b_1+b_2))}{x-x_0}\\
81	81	&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x+m_2b_1+b_2-(m_1m_2)x_0-m_2b_1-b_2}{x-x_0}\\
	82	+&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x-(m_1m_2)x_0}{x-x_0}\\
82	82	&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)(x-x_0)}{x-x_0}\\
83	83	&=m_1m_2
84	84	\end{align}
...	...	@@ -87,3 +87,37 @@
87	87	Somit ist {{formula}}f'(x)=m_1m_2{{/formula}}.
88	88	)))
89	89	)))
	91	+1. (((Wir berechnen die Ableitung der Funktion {{formula}}f_i(x){{/formula}} mit dem Differenzialquotienen:
	92	+
	93	+{{formula}}
	94	+\begin{align}
	95	+f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_ix+b_i-(m_ix_0+b_i)}{x-x_0}\\
	96	+&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_ix+b_i-m_ix_0-b_i}{x-x_0}\\
	97	+&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_ix-m_ix_0}{x-x_0}\\
	98	+&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_i(x-x_0)}{x-x_0}\\
	99	+&=m_i
	100	+\end{align}
	101	+{{/formula}}
	102	+
	103	+Also ist {{formula}}f_1^\prime(x)=m_1{{/formula}} und {{formula}}f_1^\prime(x)=m_2{{/formula}}.
	104	+
	105	+Nun betrachten wir die einzelnen zusammengesetzten Funktionen:
	106	+1. Summenfunktion: {{formula}}f'(x)\underset{b)}{=}m_1+m_2=f_1'(x)+f_2'(x){{/formula}}
	107	+1. Vielfachenfunktion: {{formula}}f'(x)\underset{b)}{=}am_1=a\cdot f_1'(x){{/formula}}
	108	+1. (((Produktfunktion:
	109	+
	110	+{{formula}}
	111	+\begin{align}
	112	+&f_1'(x)\cdot f_2(x)+f_1(x)\cdot f_2'(x)=m_1\cdot (m_2x+b_2)+(m_1x+b_1)\cdot m_2 \\
	113	+&=m_1m_2x+m_1b_2+m_1m_2x+b_1m_2 \\
	114	+&=2m_1m_2 x+(m_1b_2+m_2b_1) \\
	115	+&\underset{b)}{=}f'(x)
	116	+\end{align}
	117	+{{/formula}}
	118	+
	119	+)))
	120	+1. Verkettung: {{formula}}(f_2'(x)\circ f_1(x))\cdot f_1'(x)= (f_2'(f_1(x))\cdot m_1
	121	+ =m_2m_1\underset{b)}{=}f'(x){{/formula}}
	122	+)))
	123	+)))
	124	+1. +e) Ersetzt man in der Merkhilfe {{formula}}u(x){{/formula}} durch {{formula}}f_1(x){{/formula}} und {{formula}}v(x){{/formula}} durch {{formula}}f_2(x){{/formula}} (bzw. bei der Verkettung genau andersrum), so sieht man direkt, dass die in c) gezeigten Regeln den allgemeinenn Ableitungsregeln entsprechen.