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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -4,12 +4,12 @@
4 4  1. (((Produktfunktion
5 5  
6 6  {{formula}}
7 -\begin{align}
7 +\begin{align*}
8 8  f(x)&=f_1(x)\cdot f_2(x) \\
9 9   &=(m_1x+b_1)\cdot(m_2x+b_2)\\
10 10   &=m_1m_2x^2+m_1b_2x+m_2b_1x+b_1b_2\\
11 11   &=m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2
12 -\end{align}
12 +\end{align*}
13 13  {{/formula}}
14 14  
15 15  )))
... ... @@ -16,11 +16,11 @@
16 16  1. (((Verkettung
17 17  
18 18  {{formula}}
19 -\begin{align}
19 +\begin{align*}
20 20  f(x)&=f_2(x)\circ f_1(x)=f_2(f_1(x))=f_2(m_1x+b_1) \\
21 21  &=m_2(m_1x+b_1)+b_2 \\
22 22  &=(m_1m_2)x+(m_2b_1+b_2)
23 -\end{align}
23 +\end{align*}
24 24  {{/formula}}
25 25  
26 26  )))
... ... @@ -31,7 +31,7 @@
31 31  1. (((Summenfunktion:
32 32  
33 33  {{formula}}
34 -\begin{align}
34 +\begin{align*}
35 35  f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x+(b_1+b_2)-((m_1+m_2)x_0+(b_1+b_2))}{x-x_0}\\
36 36  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x+(b_1+b_2)-(m_1+m_2)x_0-(b_1+b_2)}{x-x_0} \\
37 37  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x-(m_1+m_2)x_0}{x-x_0} \\
... ... @@ -38,7 +38,7 @@
38 38  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(x-x_0)(m_1+m_2)}{x-x_0} \\
39 39  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \left((m_1+m_2)\frac{x-x_0}{x-x_0}\right) \\
40 40  &=m_1+m_2
41 -\end{align}
41 +\end{align*}
42 42  {{/formula}}
43 43  
44 44  Somit ist {{formula}}f'(x)=m_1+m_2{{/formula}}.
... ... @@ -46,13 +46,13 @@
46 46  1. (((Vielfachenfunktion:
47 47  
48 48  {{formula}}
49 -\begin{align}
49 +\begin{align*}
50 50  f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x+ab_1-((am_1)x_0+ab_1)}{x-x_0}\\
51 51  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x+ab_1-(am_1)x_0-ab_1}{x-x_0}\\
52 52  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x)-(am_1)x_0}{x-x_0}\\
53 53  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{am_1(x-x_0)}{x-x_0}\\
54 54  &=am_1
55 -\end{align}
55 +\end{align*}
56 56  {{/formula}}
57 57  
58 58  Somit ist {{formula}}f'(x)=am_1{{/formula}}.
... ... @@ -60,7 +60,7 @@
60 60  1. (((Produktfunktion:
61 61  
62 62  {{formula}}
63 -\begin{align}
63 +\begin{align*}
64 64  f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2-(m_1m_2x_0^2+(m_1b_2+m_2b_1)x_0+b_1b_2)}{x-x_0}\\
65 65  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2-m_1m_2x_0^2-(m_1b_2+m_2b_1)x_0-b_1b_2}{x-x_0}\\
66 66  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2-m_1m_2x_0^2+(m_1b_2+m_2b_1)x-(m_1b_2+m_2b_1)x_0}{x-x_0}\\
... ... @@ -68,7 +68,7 @@
68 68  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2(x-x_0)(x+x_0)+(m_1b_2+m_2b_1)(x-x_0)}{x-x_0}\\
69 69  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} (m_1m_2(x+x_0)+(m_1b_2+m_2b_1)) \\
70 70  &=m_1m_2 2x_0+(m_1b_2+m_2b_1)\\
71 -\end{align}
71 +\end{align*}
72 72  {{/formula}}
73 73  
74 74  Somit ist {{formula}}f'(x)=2m_1m_2 x+(m_1b_2+m_2b_1){{/formula}}.
... ... @@ -76,15 +76,48 @@
76 76  1. (((Verkettung:
77 77  
78 78  {{formula}}
79 -\begin{align}
79 +\begin{align*}
80 80  f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x+(m_2b_1+b_2)-((m_1m_2)x_0+(m_2b_1+b_2))}{x-x_0}\\
81 81  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x+m_2b_1+b_2-(m_1m_2)x_0-m_2b_1-b_2}{x-x_0}\\
82 82  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x-(m_1m_2)x_0}{x-x_0}\\
83 83  &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)(x-x_0)}{x-x_0}\\
84 84  &=m_1m_2
85 -\end{align}
85 +\end{align*}
86 86  {{/formula}}
87 87  
88 88  Somit ist {{formula}}f'(x)=m_1m_2{{/formula}}.
89 89  )))
90 90  )))
91 +1. (((Wir berechnen die Ableitung der Funktion {{formula}}f_i(x){{/formula}} mit dem Differenzialquotienen:
92 +
93 +{{formula}}
94 +\begin{align*}
95 +f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_ix+b_i-(m_ix_0+b_i)}{x-x_0}\\
96 +&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_ix+b_i-m_ix_0-b_i}{x-x_0}\\
97 +&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_ix-m_ix_0}{x-x_0}\\
98 +&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_i(x-x_0)}{x-x_0}\\
99 +&=m_i
100 +\end{align*}
101 +{{/formula}}
102 +
103 +Also ist {{formula}}f_1^\prime(x)=m_1{{/formula}} und {{formula}}f_1^\prime(x)=m_2{{/formula}}.
104 +
105 +Nun betrachten wir die einzelnen zusammengesetzten Funktionen:
106 +1. Summenfunktion: {{formula}}f'(x)\underset{b)}{=}m_1+m_2=f_1'(x)+f_2'(x){{/formula}}
107 +1. Vielfachenfunktion: {{formula}}f'(x)\underset{b)}{=}am_1=a\cdot f_1'(x){{/formula}}
108 +1. (((Produktfunktion:
109 +
110 +{{formula}}
111 +\begin{align*}
112 +&f_1'(x)\cdot f_2(x)+f_1(x)\cdot f_2'(x)=m_1\cdot (m_2x+b_2)+(m_1x+b_1)\cdot m_2 \\
113 +&=m_1m_2x+m_1b_2+m_1m_2x+b_1m_2 \\
114 +&=2m_1m_2 x+(m_1b_2+m_2b_1) \\
115 +&\underset{b)}{=}f'(x)
116 +\end{align*}
117 +{{/formula}}
118 +
119 +)))
120 +1. Verkettung: {{formula}}(f_2'(x)\circ f_1(x))\cdot f_1'(x)= (f_2'(f_1(x))\cdot m_1
121 + =m_2m_1\underset{b)}{=}f'(x){{/formula}}
122 +)))
123 +1. +e) Ersetzt man in der Merkhilfe {{formula}}u(x){{/formula}} durch {{formula}}f_1(x){{/formula}} und {{formula}}v(x){{/formula}} durch {{formula}}f_2(x){{/formula}} (bzw. bei der Verkettung genau andersrum), so sieht man direkt, dass die in c) gezeigten Regeln den allgemeinen Ableitungsregeln entsprechen.