Änderungen von Dokument Lösung Ableitungsregeln entdecken und begründen
Zuletzt geändert von akukin am 2025/10/23 09:40
Zusammenfassung
-
Seiteneigenschaften (1 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)
Details
- Seiteneigenschaften
-
- Inhalt
-
... ... @@ -19,105 +19,9 @@ 19 19 \begin{align} 20 20 f(x)&=f_2(x)\circ f_1(x)=f_2(f_1(x))=f_2(m_1x+b_1) \\ 21 21 &=m_2(m_1x+b_1)+b_2 \\ 22 -&=(m_ 1m_2)x+(m_2b_1+b_2)22 +&=(m_2m_1)x+(m_2b_1+b_2) 23 23 \end{align} 24 24 {{/formula}} 25 25 26 26 ))) 27 27 ))) 28 -1. (((Die Ableitung an der Stelle {{formula}}x_0{{/formula}} berechnet sich mit Hilfe des Differenzialquotienten durch 29 -{{formula}}f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}{{/formula}} 30 - 31 -1. (((Summenfunktion: 32 - 33 -{{formula}} 34 -\begin{align} 35 -f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x+(b_1+b_2)-((m_1+m_2)x_0+(b_1+b_2))}{x-x_0}\\ 36 -&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x+(b_1+b_2)-(m_1+m_2)x_0-(b_1+b_2)}{x-x_0} \\ 37 -&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x-(m_1+m_2)x_0}{x-x_0} \\ 38 -&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(x-x_0)(m_1+m_2)}{x-x_0} \\ 39 -&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \left((m_1+m_2)\frac{x-x_0}{x-x_0}\right) \\ 40 -&=m_1+m_2 41 -\end{align} 42 -{{/formula}} 43 - 44 -Somit ist {{formula}}f'(x)=m_1+m_2{{/formula}}. 45 -))) 46 -1. (((Vielfachenfunktion: 47 - 48 -{{formula}} 49 -\begin{align} 50 -f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x+ab_1-((am_1)x_0+ab_1)}{x-x_0}\\ 51 -&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x+ab_1-(am_1)x_0-ab_1}{x-x_0}\\ 52 -&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x)-(am_1)x_0}{x-x_0}\\ 53 -&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{am_1(x-x_0)}{x-x_0}\\ 54 -&=am_1 55 -\end{align} 56 -{{/formula}} 57 - 58 -Somit ist {{formula}}f'(x)=am_1{{/formula}}. 59 -))) 60 -1. (((Produktfunktion: 61 - 62 -{{formula}} 63 -\begin{align} 64 -f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2-(m_1m_2x_0^2+(m_1b_2+m_2b_1)x_0+b_1b_2)}{x-x_0}\\ 65 -&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2-m_1m_2x_0^2-(m_1b_2+m_2b_1)x_0-b_1b_2}{x-x_0}\\ 66 -&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2-m_1m_2x_0^2+(m_1b_2+m_2b_1)x-(m_1b_2+m_2b_1)x_0}{x-x_0}\\ 67 -&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2(x^2-x_0^2)+(m_1b_2+m_2b_1)(x-x_0)}{x-x_0}\\ 68 -&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2(x-x_0)(x+x_0)+(m_1b_2+m_2b_1)(x-x_0)}{x-x_0}\\ 69 -&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} (m_1m_2(x+x_0)+(m_1b_2+m_2b_1)) \\ 70 -&=m_1m_2 2x_0+(m_1b_2+m_2b_1)\\ 71 -\end{align} 72 -{{/formula}} 73 - 74 -Somit ist {{formula}}f'(x)=2m_1m_2 x+(m_1b_2+m_2b_1){{/formula}}. 75 -))) 76 -1. (((Verkettung: 77 - 78 -{{formula}} 79 -\begin{align} 80 -f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x+(m_2b_1+b_2)-((m_1m_2)x_0+(m_2b_1+b_2))}{x-x_0}\\ 81 -&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x+m_2b_1+b_2-(m_1m_2)x_0-m_2b_1-b_2}{x-x_0}\\ 82 -&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)x-(m_1m_2)x_0}{x-x_0}\\ 83 -&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1m_2)(x-x_0)}{x-x_0}\\ 84 -&=m_1m_2 85 -\end{align} 86 -{{/formula}} 87 - 88 -Somit ist {{formula}}f'(x)=m_1m_2{{/formula}}. 89 -))) 90 -))) 91 -1. (((Wir berechnen die Ableitung der Funktion {{formula}}f_i(x){{/formula}} mit dem Differenzialquotienen: 92 - 93 -{{formula}} 94 -\begin{align} 95 -f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_ix+b_i-(m_ix_0+b_i)}{x-x_0}\\ 96 -&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_ix+b_i-m_ix_0-b_i}{x-x_0}\\ 97 -&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_ix-m_ix_0}{x-x_0}\\ 98 -&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_i(x-x_0)}{x-x_0}\\ 99 -&=m_i 100 -\end{align} 101 -{{/formula}} 102 - 103 -Also ist {{formula}}f_1^\prime(x)=m_1{{/formula}} und {{formula}}f_1^\prime(x)=m_2{{/formula}}. 104 - 105 -Nun betrachten wir die einzelnen zusammengesetzten Funktionen: 106 -1. Summenfunktion: {{formula}}f'(x)\underset{b)}{=}m_1+m_2=f_1'(x)+f_2'(x){{/formula}} 107 -1. Vielfachenfunktion: {{formula}}f'(x)\underset{b)}{=}am_1=a\cdot f_1'(x){{/formula}} 108 -1. (((Produktfunktion: 109 - 110 -{{formula}} 111 -\begin{align} 112 -&f_1'(x)\cdot f_2(x)+f_1(x)\cdot f_2'(x)=m_1\cdot (m_2x+b_2)+(m_1x+b_1)\cdot m_2 \\ 113 -&=m_1m_2x+m_1b_2+m_1m_2x+b_1m_2 \\ 114 -&=2m_1m_2 x+(m_1b_2+m_2b_1) \\ 115 -&\underset{b)}{=}f'(x) 116 -\end{align} 117 -{{/formula}} 118 - 119 -))) 120 -1. Verkettung: {{formula}}(f_2'(x)\circ f_1(x))\cdot f_1'(x)= (f_2'(f_1(x))\cdot m_1 121 - =m_2m_1\underset{b)}{=}f'(x){{/formula}} 122 -))) 123 -1. +e) Ersetzt man in der Merkhilfe {{formula}}u(x){{/formula}} durch {{formula}}f_1(x){{/formula}} und {{formula}}v(x){{/formula}} durch {{formula}}f_2(x){{/formula}} (bzw. bei der Verkettung genau andersrum), so sieht man direkt, dass die in c) gezeigten Regeln den allgemeinen Ableitungsregeln entsprechen.