BPE 12.1 Differentialquotient, Differenzierbarkeit

1  Mittlere und momentane Änderungsrate  (7 min) 𝕃

Gegeben ist die Funktion f mit \(f(x)=x^2\)

1. Bestimme die mittlere Änderungsrate in den Intervallen \([1;2]\), \([1;1,1]\), \([1;1,01]\)
2. Ermittle die momentane Änderungsrate an der Stelle \(x = 1\) mit Hilfe des Intervalls \([1; 1+h]\) für \(h\rightarrow 0\)

2  Blitzer  (9 min) 𝕋 

Peter Planlos hat es, wie üblich, sehr eilig nach Hause zu kommen. Er braucht für eine 2,5 km lange Strecke durch einen Ort zwischen zwei roten Ampeln nur 3 Minuten und vergisst mal wieder, dass dort ein Blitzer steht. Nach 1,5 Minuten Fahrtzeit wird die Geschwindigkeit gemessen.
Seine Zeit-Weg-Funktion ist durch \(f(t)=-\frac{5}{27}t^3+\frac{5}{6}t^2\) gegeben.

1. Berechne seine durchschnittliche Geschwindigkeit für die Ortsdurchfahrt.
2. Erläutere, ob Peter jetzt mit einem Strafzettel rechnen muss.

3  Differentialquotient  (8 min) 𝕃

Berechne den Differentialquotienten für eine beliebige Stelle \(x_0\) für folgende Funktionen:

1. \(f(x)=x^2+3\)
2. \(f(x)=3\cdot x^2\)

4  Differenzierbarkeit  (8 min) 𝕃

Diskutiere für folgende Schaubilder, ob ihre Funktionen innerhalb ihres Definitionsbereichs differenzierbar sind.