BPE 12.2 Ableitungsfunktion und Ableiten

1  eFunktion  (7 min) 𝕃

Zeichne die e-Funktion \(f(x)=e^x\) im Intervall \([-1;3]\). Zeichne genau darunter ein Koordinatensystem mit der Ableitungsfunktion \(f'(x)\), deren Werte durch grafisches Differenzieren an mindestens 5 Stellen ermittelt werden. Beschreibe dein Ergebnis und bestimme den Term der Ableitungsfunktion.

2  Trigonometrische Funktionen  (8 min) 𝕋  𝕃

Zeichne die sinus-Funktion \(f(x)=sin(x)\) im Intervall \([-2 \pi;2 \pi]\). Zeichne genau darunter ein Koordinatensystem mit der Ableitungsfunktion \(f'(x)\), deren Werte durch geschicktes grafisches Differenzieren ermittelt werden. Beschreibe dein Ergebnis und bestimme den Term der Ableitungsfunktion.
Beschreibe ein analoges Vorgehen für \(f_2(x)=cos(x)\).

3  Verschiebung durch Ableiten  (k.A.)

Die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f\) hat die erste Ableitungsfunktion \(f^\prime\) mit \(f^\prime\left(x\right)=2\cdot e^{2x}\) und es gilt \(f\left(0\right)=1\).

Leitet man die erste Ableitungsfunktion \(f^\prime\) ab, so erhält man die zweite Ableitungsfunktion \(f^{\prime\prime}\) von \(f\). Entsprechend entsteht die hundertste Ableitung \(f^{\left(100\right)}\) von \(f\). Der Graph der hundersten Ableitungsfunktion \(f^{\left(100\right)}\) lässt sich aus dem Graphen von \(f\) durch eine Verschiebung in x-Richtung erzeugen.

Ermittle, um wie viele Einheiten der Graph von \(f\) dazu in x-Richtung zu verschieben ist.

4  Ableitung berechnen und grafisch ermitteln  (k.A.) 𝕋  𝕃

Gegeben sind die in \(\mathbb{R}\) definierten Funktionen \(g\) mit \(g\left(x\right)=2\cdot e^x-2\) und \(h\) mit \(h\left(x\right)=e^x+1\). Die Abbildung zeigt ihre Graphen.

1. Die erste Ableitungsfunktion von \(g\) wird mit \(g^\prime\) bezeichnet. Berechne \(g^\prime\left(0\right)\) und veranschauliche in der Abbildung, wie man diesen Wert grafisch ermitteln kann.
2. Beurteile folgende Aussage:
   Es gibt eine Verschiebung in y-Richtung, durch die der Graph von \(h\) aus dem Graphen von \(g\) erzeugt werden kann.