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Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/07/28 18:49
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Anna Kukin 1.1 1 **Erwartungshorizont: **
2 {{formula}}f(x) = e^{2x} \ ; \quad f^{(100)}(x) = 2^{100} \cdot e^{2x}{{/formula}}
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4 Erzeugung des Graphen von {{formula}}f^{(100)}{{/formula}} durch Verschiebung des Graphen von {{formula}}f{{/formula}}:
5 {{formula}}f(x-c) = f^{(100)}(x) \Leftrightarrow e^{2x} \cdot e^{-2c} = 2^{100} \cdot e^{2x} \Leftrightarrow e^{-2c} = 2^{100} \Leftrightarrow c = -\frac{1}{2} \cdot \ln\left(2^{100}\right){{/formula}}
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8 **Erläuterung der Lösung: **
9 Es gilt: {{formula}}f^\prime(x)=2\cdot e^{2x}{{/formula}}
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11 Wir bestimmen zunächst die Ausgangsfunktion Es gilt: {{formula}}f(x){{/formula}}. Dazu bilden wir die Stammfunktion (die „Aufleitung“): {{formula}}f(x) = e^{2x}{{/formula}}.
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14 Wir leiten nun die Funktion nun weiter ab, um das Muster zu erkennen:
15 {{formula}}f''(x) = 2\cdot 2\cdot e^{2x} = 2^2 \cdot e^{2x}{{/formula}}
16 {{formula}}f'''(x) = 2 \cdot 2^2 \cdot e^{2x} = 2^3 \cdot e^{2x}{{/formula}}
17 Daraus ergibt sich für die allgemein {{formula}}f^{(n)}(x) = 2^n \cdot e^{2x}{{/formula}}. Für die 100. Ableitung gilt somit: {{formula}}f^{(100)}(x) = 2^{100} \cdot e^{2x}{{/formula}}.
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20 Erzeugung des Graphen von {{formula}}f^{(100)}{{/formula}} durch Verschiebung des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} um den Wert {{formula}}c{{/formula}} in x-Richtung:
21 {{formula}}
22 \begin{align*}
23 f(x-c) &= f^{(100)}(x) \\
24 \Leftrightarrow e^{2(x-c)} &= 2^{100} \cdot e^{2x} \\
25 \Leftrightarrow e^{2x} \cdot e^{-2c} &= 2^{100} \cdot e^{2x} &&| : e^{2x} \\
26 \Leftrightarrow e^{-2c} &= 2^{100} &&| \ln() \\
27 \Leftrightarrow -2c &= \ln\left(2^{100}\right) &&| : (-2) \\
28 \Leftrightarrow c &= -\frac{1}{2} \cdot \ln\left(2^{100}\right)
29 \end{align*}
30 {{/formula}}