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Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/14 16:48
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1 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
2 {{formula}}f(x)=e^{2x}; \ f^{(100)}(x)=2^{100}\cdot e^{2x}{{/formula}}
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4 <br>
5 Erzeugung des Graphen von {{formula}}f^{(100)}{{/formula}} durch Verschiebung des Graphen von {{formula}}f{{/formula}}:
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7 {{formula}}f(x-c)=f^{(100)}(x) \ \ \Leftrightarrow \ \ e^{2x}\cdot e^{-2c}=2^{100}\cdot e^{2x} \ \ \Leftrightarrow \ \ e^{-2c}=2^{100} \ \ \Leftrightarrow \ \ c=-\frac{1}{2}\cdot\ln{(2^{100})}{{/formula}}
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9 {{/detail}}
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12 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
13 Lies am besten zuerst Hinweis 3.
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15 <br>
16 Bekannt ist zuerst nur: {{formula}}f^\prime(x)=2\cdot e^{2x}{{/formula}} und {{formula}}f(0)=1{{/formula}}
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18 Die Stammfunktion von {{formula}}f^\prime{{/formula}} ist die Originalfunktion {{formula}}f{{/formula}}:
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20 {{formula}}f(x)=e^{2x}+C;\ \ C\in\mathbb{R}{{/formula}}
21 <br>
22 Da der Graph von {{formula}}f{{/formula}} den y-Achsenabschnitt 1 haben soll:
23 <br>
24 {{formula}}f(0)=1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ e^0+C=1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ C=0{{/formula}}
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26 {{formula}}f(x)=e^{2x}{{/formula}}
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28 <br>
29 Ein <i>n</i>-maliges Ableiten führt zu einer Multiplikation mit {{formula}}2^n{{/formula}} (wovon man sich durch Ausprobieren leicht überzeugen kann):
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31 {{formula}}f^{(n)}(x)=2^n\cdot e^{2x}{{/formula}}
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34 Wie in Hinweis 3 beschrieben, bringen wir beide Faktoren auf dieselbe Basis und formen den Term algebraisch um, so dass eine Verschiebung in x-Richtung ersichtlich wird, das heißt zum {{formula}}x{{/formula}} in der Originalfunktion nur noch ein Summand addiert wird:
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36 {{formula}}f^{(n)}(x)=e^{\ln{(2^n)}}\cdot e^{2x}=e^{\ln{(2^n)}+2x}=e^{2\big(\frac{1}{2}\ln{(2^n)}+x\big)}{{/formula}}
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38 Also ist der Graph der n-ten Ableitung gegenüber dem der Originalfunktion um {{formula}}\frac{1}{2}\ln{(2^n)}{{/formula}} nach links verschoben.
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41 Für {{formula}}n=100{{/formula}} bedeutet das, dass die Verschiebung um {{formula}}c\in\mathbb{R}{{/formula}} nach rechts beschrieben werden kann mittels:
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43 {{formula}}c=-\frac{1}{2}\ln{(2^{100})}{{/formula}}
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45 Dann gilt:
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47 {{formula}}f^{(100)}(x)=f(x-c){{/formula}}
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50 {{/detail}}