Änderungen von Dokument BPE 12.3 Ableitungsregeln für Verknüpfungen und Verkettungen

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -24,12 +24,12 @@
24	24	//Anmerkung//. Verwende dafür, dass differenzierbare Funktionen //lokal// "linear approximierbar" sind (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1), d.h., in der Nähe von //u// die Näherung {{formula}}f(x)\approx f(u)+f'(u)\cdot (x-u){{/formula}} gilt. Mit anderen Worten: Jede differenzierbare Funktion verhält sich, lokal betrachtet, wie eine lineare Funktion, welche die Ableitungsregeln erfüllen.
25	25	{{/aufgabe}}
26	26
27		-{{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
	27	+{{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}
28	28	Gegeben ist die natürliche Logarithmusfunktion {{formula}}\ln{{/formula}} mit Definitionsbereich {{formula}}\mathbb{R}_+^*{{/formula}} und zugehörigem Wertebereich {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}}. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}\ln'{{/formula}} ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor.
29	29	//Implizites Differenzieren//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=e^{\ln(x)}=x{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}1=h'(x)=e^{\ln(x)}\cdot \ln'(x){{/formula}} nach {{formula}}\ln'{{/formula}} auf.
30	30	{{/aufgabe}}
31	31
32		-{{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="III" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
	32	+{{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="III" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
33	33	Gegeben ist eine Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^k{{/formula}}.
34	34	(% class="abc" %)
35	35	1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=0,1,2{{/formula}} mittels Definition des Differenzialquotienten.
...	...	@@ -42,15 +42,15 @@
42	42	1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=-n{{/formula}} mit {{formula}}n\in \mathbb{N}^*{{/formula}}.
43	43	//Ansatz (implizites Differenzieren)//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=x^n\cdot f(x)=1{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}0=h'(x)=(x^n)'\cdot f(x)+x^n\cdot f'(x){{/formula}} nach {{formula}}f'(x){{/formula}} auf.
44	44	1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k\in \mathbb{R}_+^*{{/formula}}.
45		-/Ansatz//. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung {{formula}}f(x)=x^k=e^{k\cdot \ln(x)}{{/formula}} von //f// und verwende die Ableitung der e-Funktion zzgl. Kettenregel.
	45	+//Ansatz//. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung {{formula}}f(x)=x^k=e^{k\cdot \ln(x)}{{/formula}} von //f// und verwende die Ableitung der e-Funktion zzgl. Kettenregel.
46	46	{{/aufgabe}}
47	47
48	48	{{aufgabe id="Spezielle Ableitungen" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
49		-Ermittle zu folgender Funktionsgleichung einer Funktion //f// den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich und ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung ihrer ersten Ableitung //f'//.
	49	+Gegeben sind die Winkelfunktionen {{formula}}\sin, \cos{{/formula}} mit Definitionsbereich {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} und zugehörigem Wertebereich {{formula}}[-1;+1]{{/formula}}. Wir wollen ihre ersten Ableitungen {{formula}}\sin', \cos'{{/formula}} ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=(\sin(x))^2+(\cos(x))^2=1{{/formula}} (trigonometrischer Pythagoras).
50	50	(% class="abc" %)
51		-1. {{formula}}f(x)=x^1 \cdot x^{k-1}{{/formula}} für {{formula}}k\in \mathbb{N}^*{{/formula}}
52		-1. {{formula}}f(x)=x^k \cdot x^{-k}{{/formula}} für {{formula}}k\in \mathbb{N}^*{{/formula}}
53		-1. {{formula}}f(x)=e^{\ln(x)}{{/formula}}
54		-1. {{formula}}f(x)=e^{r\cdot \ln(x)}{{/formula}} für {{formula}}r\in \mathbb{R}_+^*{{/formula}}
55		-1. {{formula}}f(x)=\sin(x-(-\pi/2)){{/formula}}
	51	+1. //Implizites Differenzieren//. Zeige, dass gilt: {{formula}}\sin(x)\sin'(x)=-\cos(x)\cos'(x){{/formula}}.
	52	+1. Begründe bzw. plausibilisiere mittels Teilaufgabe (a) und der Graphen der Winkelfunktionen, dass {{formula}}\sin'=\cos{{/formula}} und {{formula}}\cos'=-\sin{{/formula}}.
	53	+1. Zeige, dass aus {{formula}}\sin'=\cos{{/formula}} mittels Kettenregel {{formula}}\cos'=-\sin{{/formula}} folgt.
	54	+//Ansatz//. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung {{formula}}\cos(x)=\sin(x-(-\pi/2)){{/formula}} von {{formula}}cos{{/formula}}.
	55	+//Anmerkung//. Teilaufgabe (c) plausibilisiert die Behauptung in Teilaufgabe (b).
56	56	{{/aufgabe}}