BPE 12.3 Ableitungsregeln für Verknüpfungen und Verkettungen

Aufgabe 1  Ableitungsregeln entdecken und begründen 𝕃

Gegeben sind eine reelle Zahl a sowie zwei lineare Funktionen \(f_i\) mit \(f_i(x)=m_i x+b_i\) für \(i=1,2\).

1. Ermittle rechnerisch (mittels Definition der Verknüpfung bzw. Verkettung) die Hauptform der folgenden zusammengesetzten Funktionen:

   1. Summenfunktion \(f=f_1 + f_2\)
   2. Vielfachenfunktion \(f=a \cdot f_1\)
   3. Produktfunktion \(f=f_1\cdot f_2\).
   4. Verkettung \(f=f_2\circ f_1\).
       
2. Ermittle rechnerisch (mittels Definition des Differenzialquotienten) aus der Hauptform von f die Hauptform der ersten Ableitung f' von f.

3. Zeige, dass sich f' folgendermaßen schreiben lässt:

   1. Summenfunktion \(f'=f_1' + f_2'\)
   2. Vielfachenfunktion \(f'=a \cdot f_1'\)
   3. Produktfunktion \(f'=f_1'\cdot f_2+f_1\cdot f_2'\)
   4. Verkettung \(f'=(f_2'\circ f_1) \cdot f_1'\).
       
4. Recherchiere die Ableitungsregeln (vgl. Merkhilfe, S. 5).
5. Begründe bzw. plausibilisiere, dass durch die Teilaufgaben (a), (b) und (c) die Ableitungsregeln für differenzierbare Funktionen im Wesentlichen gezeigt sind.
   Anmerkung. Verwende dafür, dass differenzierbare Funktionen lokal "linear approximierbar" sind (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1), d.h., in der Nähe von u die Näherung \(f(x)\approx f(u)+f'(u)\cdot (x-u)\) gilt. Mit anderen Worten: Jede differenzierbare Funktion verhält sich, lokal betrachtet, wie eine lineare Funktion, welche die Ableitungsregeln erfüllen.

Aufgabe 2  Logarithmusfunktion ableiten 𝕃

Gegeben ist die natürliche Logarithmusfunktion \(\ln\) mit Definitionsbereich \(\mathbb{R}_+^*\) und zugehörigem Wertebereich \(\mathbb{R}\). Wir wollen ihre erste Ableitung \(\ln'\) ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor.
Implizites Differenzieren. Betrachte die Hilfsfunktion h mit \(h(x)=e^{\ln(x)}=x\). Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) \(1=h'(x)=e^{\ln(x)}\cdot \ln'(x)\) nach \(\ln'\) auf.

Aufgabe 3  Potenzregel und Produktregel 𝕃

Gegeben ist eine Funktion f mit \(f(x)=x^k\).

1. Zeige die Instanz der Potenzregel für \(k=0,1,2\) mittels Definition des Differenzialquotienten.
2. Zeige die Instanz der Potenzregel für \(k=3,4\) mittels Produktregel.
   Ansatz. \(f(x)=x^3=x^2\cdot x\) bzw. \(f(x)=x^4=x^3\cdot x\).
3. Zeige die Instanz der Potenzregel für \(k=5\) mittels Produktregel auf mindestens drei Weisen.
   Ansatz. \(f(x)=x^5=x^4\cdot x=x^3\cdot x^2= x^{12}\cdot x^{-7}\) oder ähnliches.
4. Zeige die Instanz der Potenzregel für \(k=1/2\).
   Ansatz (implizites Differenzieren). Betrachte die Hilfsfunktion h mit \(h(x)=f(x)\cdot f(x)=x\). Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) \(1=h'(x)=2 f(x) f'(x)\) nach \(f'(x)\) auf.
5. Zeige die Instanz der Potenzregel für \(k=-n\) mit \(n\in \mathbb{N}^*\).
   Ansatz (implizites Differenzieren). Betrachte die Hilfsfunktion h mit \(h(x)=x^n\cdot f(x)=1\). Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) \(0=h'(x)=(x^n)'\cdot f(x)+x^n\cdot f'(x)\) nach \(f'(x)\) auf.
6. Zeige die Instanz der Potenzregel für \(k\in \mathbb{R}_+^*\).
   /Ansatz. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung \(f(x)=x^k=e^{k\cdot \ln(x)}\) von f und verwende die Ableitung der e-Funktion zzgl. Kettenregel.

Aufgabe 4  Spezielle Ableitungen

Ermittle zu folgender Funktionsgleichung einer Funktion f den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich und ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung ihrer ersten Ableitung f'.

1. \(f(x)=x^1 \cdot x^{k-1}\) für \(k\in \mathbb{N}^*\)
2. \(f(x)=x^k \cdot x^{-k}\) für \(k\in \mathbb{N}^*\)
3. \(f(x)=e^{\ln(x)}\)
4. \(f(x)=e^{r\cdot \ln(x)}\) für \(r\in \mathbb{R}_+^*\)
5. \(f(x)=\sin(x-(-\pi/2))\)