Änderungen von Dokument BPE 12.3 Ableitungsregeln für Verknüpfungen und Verkettungen

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33	33	1. Zeige unter Verwendung der Kettenregel und folgender Anmerkung die Ableitungsregel für die Exponentialfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe. Dort wird der Funktionsterm {{formula}}e^{bx}{{/formula}} betrachtet, das ist für {{formula}}b=\ln(q){{/formula}} der Funktionsterm von {{formula}}f_q{{/formula}}, nämlich {{formula}}e^{bx}=e^{\ln(q)x}=q^x=f_q(x){{/formula}}.
34	34
35	35	//Anmerkung//.(% class="abc" %)
36		-1. Es gilt folgende Gleichung {{formula}}f_q'(0)=\ln(q){{/formula}}.
	36	+1. Es gilt folgende Gleichung: {{formula}}\[f_q'(0)=\ln(q)\:.\]{{/formula}}
37	37	Das liefert einen alternativen Zugang zur natürlichen Logarithmusfunktion (als Alternative zu ihrer Erscheinungsweise als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion).
38		-1. Es gilt die Äquivalenz folgender Gleichungen {{formula}}\lim_{h\to 0} \frac{q^h-1}{h}=1 \Leftrightarrow q=e{{/formula}}.
	38	+1. Es gilt die Äquivalenz folgender Gleichungen: {{formula}}\[\lim_{h\to 0} \frac{q^h-1}{h}=1 \Leftrightarrow q=e\:.\]{{/formula}}
39	39	Das charakterisiert zunächst eine reelle Zahl, die wir durch "{{formula}}e{{/formula}}" bezeichnen" und das zeichnet weiter die natürliche Exponentialfunktion (zur Basis //e//) unter allen Exponentialfunktionen aus: {{formula}}f_e'(x)=f_e(x){{/formula}} bzw. kurz {{formula}}f_e'=f_e{{/formula}}.
40		-1. Es gilt {{formula}}f_q'(x)=\ln(q)\cdot f_q(x){{/formula}}.
	40	+1. Es gilt allgemein für die Funktionswerte von {{formula}}f_q'{{/formula}}: {{formula}}\[f_q'(x)=\ln(q)\cdot f_q(x)\:.\]{{/formula}}
41	41	{{/aufgabe}}
42	42
43	43	{{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}